Алгебра Примеры

$\frac{1}{x + 1} + \frac{2 x}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x - 1}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{x + 1} + \frac{2 x}{x^{2} - 1^{2}} - \frac{1}{x - 1}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{1}{x + 1} + \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{1}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1}$

Этап 3

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 1 + 2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1}$

Этап 5

Добавим $x$ и $2 x$ .

$\frac{3 x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1}$

Этап 6

Чтобы записать $- \frac{1}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{3 x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Этап 7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 1) (x - 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{x - 1}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{3 x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

Этап 7.2

Изменим порядок множителей в $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{3 x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x - 1 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x - 1 - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 9.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3 x - 1 - x - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 9.3

Вычтем $x$ из $3 x$ .

$\frac{2 x - 1 - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 9.4

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\frac{2 x - 2}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 9.5

Вынесем множитель $2$ из $2 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 2}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 9.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 9.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 10

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 10.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{x + 1}$