Алгебра Примеры

$\log_{6} (x^{2} + 8) = 1 + \log_{6} (x)$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log_{6} (x^{2} + 8) - \log_{6} (x) = 1$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{6} (\frac{x^{2} + 8}{x}) = 1$

Этап 3

Перепишем $\log_{6} (\frac{x^{2} + 8}{x}) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$6^{1} = \frac{x^{2} + 8}{x}$

Этап 4

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$x^{2} + 8 = 6 (x)$

Этап 5

Умножим $6$ на $x$ .

$x^{2} + 8 = 6 x$

Этап 6

Вычтем $6 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 8 - 6 x = 0$

Этап 7

Разложим $x^{2} + 8 - 6 x$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $- 6$ .

$- 4, - 2$

Этап 7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Этап 8

Упростим $(x - 4) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Развернем $(x - 4) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 2) - 4 (x - 2) = 0$

Этап 8.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 4 (x - 2) = 0$

Этап 8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2 = 0$

Этап 8.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2 = 0$

Этап 8.2.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$x^{2} - 2 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 2 = 0$

Этап 8.2.1.3

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x^{2} - 2 x - 4 x + 8 = 0$

Этап 8.2.2

Вычтем $4 x$ из $- 2 x$ .

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

Этап 9

Разложим $x^{2} - 6 x + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

$- 4, - 2$

Этап 9.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 11

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 11.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 12

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 12.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 13

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 4, 2$