Алгебра Примеры

$\frac{3 z^{11} + 3 z^{5}}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3 z^{5}$ из $3 z^{11} + 3 z^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $3 z^{5}$ из $3 z^{11}$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{6}) + 3 z^{5}}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $3 z^{5}$ из $3 z^{5}$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{6}) + 3 z^{5} (1)}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $3 z^{5}$ из $3 z^{5} (z^{6}) + 3 z^{5} (1)$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{6} + 1)}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Этап 1.2

Перепишем $z^{6}$ в виде ${(z^{2})}^{3}$ .

$\frac{3 z^{5} ({(z^{2})}^{3} + 1)}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Этап 1.3

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{3 z^{5} ({(z^{2})}^{3} + 1^{3})}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Этап 1.4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = z^{2}$ и $b = 1$ .

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) ({(z^{2})}^{2} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перемножим экспоненты в ${(z^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) (z^{2 \cdot 2} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Этап 1.5.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Этап 1.5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1^{2}))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Этап 1.5.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $z^{12}$ в виде ${(z^{6})}^{2}$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{{(z^{6})}^{2} + 4 z^{6} + 3}$

Этап 2.2

Пусть $u = z^{6}$ . Подставим $u$ вместо $z^{6}$ для всех.

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{u^{2} + 4 u + 3}$

Этап 2.3

Разложим $u^{2} + 4 u + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $4$ .

$1, 3$

Этап 2.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(u + 1) (u + 3)}$

Этап 2.4

Заменим все вхождения $u$ на $z^{6}$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{6} + 1) (z^{6} + 3)}$

Этап 2.5

Перепишем $z^{6}$ в виде ${(z^{2})}^{3}$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{({(z^{2})}^{3} + 1) (z^{6} + 3)}$

Этап 2.6

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{({(z^{2})}^{3} + 1^{3}) (z^{6} + 3)}$

Этап 2.7

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) ({(z^{2})}^{2} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}) (z^{6} + 3)}$

Этап 2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Перемножим экспоненты в ${(z^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{2 \cdot 2} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}) (z^{6} + 3)}$

Этап 2.8.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}) (z^{6} + 3)}$

Этап 2.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1^{2}) (z^{6} + 3)}$

Этап 2.8.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1) (z^{6} + 3)}$

Этап 3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $z^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1) (z^{6} + 3)}$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 z^{5} (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{4} - z^{2} + 1) (z^{6} + 3)}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $z^{4} - z^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 z^{5} (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{4} - z^{2} + 1) (z^{6} + 3)}$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 z^{5}}{z^{6} + 3}$