Алгебра Примеры

$\frac{4}{x^{3}} - \frac{2 x - 1}{3 x}$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{4}{x^{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{x^{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x - 1}{3 x}$

Этап 2

Чтобы записать $- \frac{2 x - 1}{3 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{4}{x^{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x - 1}{3 x} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3 x^{3}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{4}{x^{3}}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{2 x - 1}{3 x} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{2 x - 1}{3 x}$ на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 x \cdot x^{2}}$

Этап 3.3

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 (x^{2} x)}$

Этап 3.3.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 (x^{2} x^{1})}$

Этап 3.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 x^{2 + 1}}$

Этап 3.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в $x^{3} \cdot 3$ .

$\frac{4 \cdot 3}{3 x^{3}} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 \cdot 3 - (2 x - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12 - (2 x - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 + (- (2 x) - - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{12 + (- 2 x - - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Этап 5.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{12 + (- 2 x + 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Этап 5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 - 2 x \cdot x^{2} + 1 x^{2}}{3 x^{3}}$

Этап 5.6

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{12 - 2 (x^{2} x) + 1 x^{2}}{3 x^{3}}$

Этап 5.6.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{12 - 2 (x^{2} x^{1}) + 1 x^{2}}{3 x^{3}}$

Этап 5.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{12 - 2 x^{2 + 1} + 1 x^{2}}{3 x^{3}}$

Этап 5.6.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{12 - 2 x^{3} + 1 x^{2}}{3 x^{3}}$

Этап 5.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{12 - 2 x^{3} + x^{2}}{3 x^{3}}$

Этап 5.8

Изменим порядок членов.

$\frac{- 2 x^{3} + x^{2} + 12}{3 x^{3}}$

Этап 5.9

Разложим $- 2 x^{3} + x^{2} + 12$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 5.9.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Этап 5.9.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$- 2 \cdot 2^{3} + 2^{2} + 12$

Этап 5.9.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- 2 \cdot 8 + 2^{2} + 12$

Этап 5.9.3.3

Умножим $- 2$ на $8$ .

$- 16 + 2^{2} + 12$

Этап 5.9.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 16 + 4 + 12$

Этап 5.9.3.5

Добавим $- 16$ и $4$ .

$- 12 + 12$

Этап 5.9.3.6

Добавим $- 12$ и $12$ .

$0$

Этап 5.9.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- 2 x^{3} + x^{2} + 12}{x - 2}$

Этап 5.9.5

Разделим $- 2 x^{3} + x^{2} + 12$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$12$

Этап 5.9.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$

Этап 5.9.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 5.9.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{3} + 4 x^{2}$ .

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 5.9.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Этап 5.9.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 5.9.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 5.9.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Этап 5.9.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{2} + 6 x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Этап 5.9.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$

Этап 5.9.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Этап 5.9.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Этап 5.9.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Этап 5.9.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x + 12$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Этап 5.9.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$
										$0$

Этап 5.9.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- 2 x^{2} - 3 x - 6$

Этап 5.9.6

Запишем $- 2 x^{3} + x^{2} + 12$ в виде набора множителей.

$\frac{(x - 2) (- 2 x^{2} - 3 x - 6)}{3 x^{3}}$

Этап 6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x^{2}) - 3 x - 6)}{3 x^{3}}$

Этап 6.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x^{2}) - (3 x) - 6)}{3 x^{3}}$

Этап 6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{2}) - (3 x)$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x^{2} + 3 x) - 6)}{3 x^{3}}$

Этап 6.4

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x^{2} + 3 x) - 1 (6))}{3 x^{3}}$

Этап 6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{2} + 3 x) - 1 (6)$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x^{2} + 3 x + 6))}{3 x^{3}}$

Этап 6.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Перепишем $- (2 x^{2} + 3 x + 6)$ в виде $- 1 (2 x^{2} + 3 x + 6)$ .

$\frac{(x - 2) (- 1 (2 x^{2} + 3 x + 6))}{3 x^{3}}$

Этап 6.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(x - 2) (2 x^{2} + 3 x + 6)}{3 x^{3}}$