Алгебра Примеры

$\frac{p^{2} - q^{2}}{p + q} \div \frac{p + q}{p - q}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{p^{2} - q^{2}}{p + q} \cdot \frac{p - q}{p + q}$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = p$ и $b = q$ .

$\frac{(p + q) (p - q)}{p + q} \cdot \frac{p - q}{p + q}$

Этап 3

Сократим общий множитель $p + q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(p + q) (p - q)}{p + q} \cdot \frac{p - q}{p + q}$

Этап 3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{p - q}{p + q} (p - q)$

Этап 4

Умножим $\frac{p - q}{p + q}$ на $p - q$ .

$\frac{(p - q) (p - q)}{p + q}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $p - q$ в степень $1$ .

$\frac{{(p - q)}^{1} (p - q)}{p + q}$

Этап 5.2

Возведем $p - q$ в степень $1$ .

$\frac{{(p - q)}^{1} {(p - q)}^{1}}{p + q}$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(p - q)}^{1 + 1}}{p + q}$

Этап 5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(p - q)}^{2}}{p + q}$

Этап 6

Перепишем ${(p - q)}^{2}$ в виде $(p - q) (p - q)$ .

$\frac{(p - q) (p - q)}{p + q}$

Этап 7

Развернем $(p - q) (p - q)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{p (p - q) - q (p - q)}{p + q}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{p \cdot p + p (- q) - q (p - q)}{p + q}$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{p \cdot p + p (- q) - q p - q (- q)}{p + q}$

Этап 8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $p$ на $p$ .

$\frac{p^{2} + p (- q) - q p - q (- q)}{p + q}$

Этап 8.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{p^{2} - p q - q p - q (- q)}{p + q}$

Этап 8.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q \cdot q}{p + q}$

Этап 8.1.4

Умножим $q$ на $q$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Перенесем $q$ .

$\frac{p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 (q \cdot q)}{p + q}$

Этап 8.1.4.2

Умножим $q$ на $q$ .

$\frac{p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q^{2}}{p + q}$

Этап 8.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{p^{2} - p q - q p + 1 q^{2}}{p + q}$

Этап 8.1.6

Умножим $q^{2}$ на $1$ .

$\frac{p^{2} - p q - q p + q^{2}}{p + q}$

Этап 8.2

Вычтем $q p$ из $- p q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Перенесем $q$ .

$\frac{p^{2} - p q - 1 p q + q^{2}}{p + q}$

Этап 8.2.2

Вычтем $p q$ из $- p q$ .

$\frac{p^{2} - 2 p q + q^{2}}{p + q}$

Этап 9

Разобьем дробь $\frac{p^{2} - 2 p q + q^{2}}{p + q}$ на две дроби.

$\frac{p^{2} - 2 p q}{p + q} + \frac{q^{2}}{p + q}$

Этап 10

Разобьем дробь $\frac{p^{2} - 2 p q}{p + q}$ на две дроби.

$\frac{p^{2}}{p + q} + \frac{- 2 p q}{p + q} + \frac{q^{2}}{p + q}$

Этап 11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{p^{2}}{p + q} - \frac{2 p q}{p + q} + \frac{q^{2}}{p + q}$