Алгебра Примеры

$\frac{\frac{2}{x - 2} - \frac{3}{x^{2} - 4}}{\frac{5}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x + 2}}$

Этап 1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{\frac{2}{x - 2} - \frac{3}{x^{2} - 4}}{\frac{5}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x + 2}}$ на $\frac{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)}$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)} \cdot \frac{\frac{2}{x - 2} - \frac{3}{x^{2} - 4}}{\frac{5}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x + 2}}$

Этап 1.2

Объединим.

$\frac{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (\frac{2}{x - 2} - \frac{3}{x^{2} - 4})}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (\frac{5}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x + 2})}$

Этап 2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{2}{x - 2} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{3}{x^{2} - 4})}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Этап 3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)$ .

$\frac{(x - 2) ((x^{2} - 4) (x + 2)) \frac{2}{x - 2} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{3}{x^{2} - 4})}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{3}{x^{2} - 4})}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{x^{2} - 4}$ в числитель.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{- 3}{x^{2} - 4}}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $x^{2} - 4$ из $(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x^{2} - 4) ((x - 2) (x + 2)) \frac{- 3}{x^{2} - 4}}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x^{2} - 4) ((x - 2) (x + 2)) \frac{- 3}{x^{2} - 4}}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Этап 3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x^{2} - 4$ из $(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x^{2} - 4) ((x - 2) (x + 2)) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x^{2} - 4) ((x - 2) (x + 2)) \frac{5}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) (- \frac{2}{x + 2})}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{x + 2}$ в числитель.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2) \frac{- 2}{x + 2}}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x - 2) (x^{2} - 4) (x + 2)$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x + 2) ((x - 2) (x^{2} - 4)) \frac{- 2}{x + 2}}$

Этап 3.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x + 2) ((x - 2) (x^{2} - 4)) \frac{- 2}{x + 2}}$

Этап 3.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2 + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x^{2} - 4) (x + 2) \cdot 2$ .

$\frac{(x + 2) ((x^{2} - 4) \cdot 2) + (x - 2) (x + 2) \cdot - 3}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x - 2) (x + 2) \cdot - 3$ .

$\frac{(x + 2) ((x^{2} - 4) \cdot 2) + (x + 2) ((x - 2) \cdot - 3)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x + 2) ((x^{2} - 4) \cdot 2) + (x + 2) ((x - 2) \cdot - 3)$ .

$\frac{(x + 2) ((x^{2} - 4) \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 3)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x + 2) (x^{2} \cdot 2 - 4 \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 3)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Этап 4.3

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (2 \cdot x^{2} - 4 \cdot 2 + (x - 2) \cdot - 3)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Этап 4.4

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{(x + 2) (2 \cdot x^{2} - 8 + (x - 2) \cdot - 3)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Этап 4.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x + 2) (2 x^{2} - 8 + x \cdot - 3 - 2 \cdot - 3)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Этап 4.6

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$\frac{(x + 2) (2 x^{2} - 8 - 3 \cdot x - 2 \cdot - 3)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Этап 4.7

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$\frac{(x + 2) (2 x^{2} - 8 - 3 \cdot x + 6)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Этап 4.8

Добавим $- 8$ и $6$ .

$\frac{(x + 2) (2 x^{2} - 3 x - 2)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Этап 4.9

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x$ .

$\frac{(x + 2) (2 x^{2} - 3 (x) - 2)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Этап 4.9.1.2

Запишем $- 3$ как $1$ плюс $- 4$

$\frac{(x + 2) (2 x^{2} + (1 - 4) x - 2)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Этап 4.9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x + 2) (2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Этап 4.9.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{(x + 2) (2 x^{2} + x - 4 x - 2)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Этап 4.9.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(x + 2) ((2 x^{2} + x) - 4 x - 2)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Этап 4.9.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(x + 2) (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1))}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Этап 4.9.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$\frac{(x + 2) ((2 x + 1) (x - 2))}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x - 2) (x + 2) \cdot 5 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x - 2) (x + 2) \cdot 5$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) ((x + 2) \cdot 5) + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x - 2) (x^{2} - 4) \cdot - 2$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) ((x + 2) \cdot 5) + (x - 2) ((x^{2} - 4) \cdot - 2)}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x - 2) ((x + 2) \cdot 5) + (x - 2) ((x^{2} - 4) \cdot - 2)$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) ((x + 2) \cdot 5 + (x^{2} - 4) \cdot - 2)}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (x \cdot 5 + 2 \cdot 5 + (x^{2} - 4) \cdot - 2)}$

Этап 5.3

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (5 \cdot x + 2 \cdot 5 + (x^{2} - 4) \cdot - 2)}$

Этап 5.4

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (5 \cdot x + 10 + (x^{2} - 4) \cdot - 2)}$

Этап 5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (5 x + 10 + x^{2} \cdot - 2 - 4 \cdot - 2)}$

Этап 5.6

Перенесем $- 2$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (5 x + 10 - 2 \cdot x^{2} - 4 \cdot - 2)}$

Этап 5.7

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (5 x + 10 - 2 \cdot x^{2} + 8)}$

Этап 5.8

Добавим $10$ и $8$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (5 x - 2 x^{2} + 18)}$

Этап 5.9

Изменим порядок членов.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (- 2 x^{2} + 5 x + 18)}$

Этап 5.10

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 2 \cdot 18 = - 36$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (- 2 x^{2} + 5 (x) + 18)}$

Этап 5.10.1.2

Запишем $5$ как $- 4$ плюс $9$

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (- 2 x^{2} + (- 4 + 9) x + 18)}$

Этап 5.10.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (- 2 x^{2} - 4 x + 9 x + 18)}$

Этап 5.10.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) ((- 2 x^{2} - 4 x) + 9 x + 18)}$

Этап 5.10.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (2 x (- x - 2) - 9 (- x - 2))}$

Этап 5.10.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 2$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) ((- x - 2) (2 x - 9))}$

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (- x - 2) (2 x - 9)}$

Этап 6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (- x - 2) (2 x - 9)}$

Этап 6.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1)}{(- x - 2) (2 x - 9)}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $x + 2$ и $- x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$\frac{(- 1 (- x) + 2) (2 x + 1)}{(- x - 2) (2 x - 9)}$

Этап 6.2.2

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (- 2)) (2 x + 1)}{(- x - 2) (2 x - 9)}$

Этап 6.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (- x - 2) (2 x + 1)}{(- x - 2) (2 x - 9)}$

Этап 6.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (- x - 2) (2 x + 1)}{(- x - 2) (2 x - 9)}$

Этап 6.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{2 x - 9}$

Этап 6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x + 1}{2 x - 9}$