Алгебра Примеры

$4 x^{2} + 4 x + 1 > 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

${(2 x)}^{2} + 4 x + 1 = 0$

Этап 2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

${(2 x)}^{2} + 4 x + 1^{2} = 0$

Этап 2.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 1$

Этап 2.4

Перепишем многочлен.

${(2 x)}^{2} + 2 \cdot (2 x) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Этап 2.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 2 x$ и $b = 1$ .

${(2 x + 1)}^{2} = 0$

Этап 3

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 4.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{1}{2}$

$x > - \frac{1}{2}$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$4 {(- 3)}^{2} + 4 (- 3) + 1 > 0$

Этап 6.1.3

Левая часть $25$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $x > - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $x > - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$4 {(0)}^{2} + 4 (0) + 1 > 0$

Этап 6.2.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{1}{2}$ Истина

$x > - \frac{1}{2}$ Истина

$x < - \frac{1}{2}$ Истина

$x > - \frac{1}{2}$ Истина

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - \frac{1}{2}$ или $x > - \frac{1}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - \frac{1}{2} or x > - \frac{1}{2}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Этап 9