Алгебра Примеры

$\frac{a}{b} (1 - \frac{a}{x}) + \frac{b}{a} (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Этап 1

Упростим $\frac{a}{b} \cdot (1 - \frac{a}{x}) + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Умножим $\frac{a}{b}$ на $1 - \frac{a}{x}$ .

$\frac{a (1 - \frac{a}{x})}{b} + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Этап 1.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{a (\frac{x}{x} - \frac{a}{x})}{b} + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Этап 1.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{a \frac{x - a}{x}}{b} + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Этап 1.1.3

Объединим $a$ и $\frac{x - a}{x}$ .

$\frac{\frac{a (x - a)}{x}}{b} + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Этап 1.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{a (x - a)}{x} \cdot \frac{1}{b} + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Этап 1.1.5

Умножим $\frac{a (x - a)}{x}$ на $\frac{1}{b}$ .

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Этап 1.1.6

Умножим $\frac{b}{a}$ на $1 - \frac{b}{x}$ .

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{b (1 - \frac{b}{x})}{a} = 1$

Этап 1.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{b (\frac{x}{x} - \frac{b}{x})}{a} = 1$

Этап 1.1.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{b \frac{x - b}{x}}{a} = 1$

Этап 1.1.8

Объединим $b$ и $\frac{x - b}{x}$ .

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{\frac{b (x - b)}{x}}{a} = 1$

Этап 1.1.9

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{b (x - b)}{x} \cdot \frac{1}{a} = 1$

Этап 1.1.10

Умножим $\frac{b (x - b)}{x}$ на $\frac{1}{a}$ .

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{b (x - b)}{x a} = 1$

Этап 1.2

Чтобы записать $\frac{a (x - a)}{x b}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a}{a}$ .

$\frac{a (x - a)}{x b} \cdot \frac{a}{a} + \frac{b (x - b)}{x a} = 1$

Этап 1.3

Чтобы записать $\frac{b (x - b)}{x a}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{b}{b}$ .

$\frac{a (x - a)}{x b} \cdot \frac{a}{a} + \frac{b (x - b)}{x a} \cdot \frac{b}{b} = 1$

Этап 1.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x b a$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{a (x - a)}{x b}$ на $\frac{a}{a}$ .

$\frac{a (x - a) a}{x b a} + \frac{b (x - b)}{x a} \cdot \frac{b}{b} = 1$

Этап 1.4.2

Умножим $\frac{b (x - b)}{x a}$ на $\frac{b}{b}$ .

$\frac{a (x - a) a}{x b a} + \frac{b (x - b) b}{x a b} = 1$

Этап 1.4.3

Изменим порядок множителей в $x b a$ .

$\frac{a (x - a) a}{a b x} + \frac{b (x - b) b}{x a b} = 1$

Этап 1.4.4

Изменим порядок множителей в $x a b$ .

$\frac{a (x - a) a}{a b x} + \frac{b (x - b) b}{a b x} = 1$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{a (x - a) a + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Этап 1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Перенесем $a$ .

$\frac{a \cdot a (x - a) + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Этап 1.6.1.2

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{a^{2} (x - a) + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a^{2} x + a^{2} (- a) + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Этап 1.6.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{a^{2} x - a^{2} a + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Этап 1.6.4

Умножим $a^{2}$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Перенесем $a$ .

$\frac{a^{2} x - (a \cdot a^{2}) + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Этап 1.6.4.2

Умножим $a$ на $a^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.2.1

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{a^{2} x - (a^{1} a^{2}) + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Этап 1.6.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{a^{2} x - a^{1 + 2} + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Этап 1.6.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Этап 1.6.5

Умножим $b$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.1

Перенесем $b$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b \cdot b (x - b)}{a b x} = 1$

Этап 1.6.5.2

Умножим $b$ на $b$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} (x - b)}{a b x} = 1$

Этап 1.6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x + b^{2} (- b)}{a b x} = 1$

Этап 1.6.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{2} b}{a b x} = 1$

Этап 1.6.8

Умножим $b^{2}$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.8.1

Перенесем $b$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - (b \cdot b^{2})}{a b x} = 1$

Этап 1.6.8.2

Умножим $b$ на $b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.8.2.1

Возведем $b$ в степень $1$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - (b^{1} b^{2})}{a b x} = 1$

Этап 1.6.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{1 + 2}}{a b x} = 1$

Этап 1.6.8.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3}}{a b x} = 1$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$a b x, 1$

Этап 2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$a b x$

Этап 3

Каждый член в $\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3}}{a b x} = 1$ умножим на $a b x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3}}{a b x} = 1$ на $a b x$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3}}{a b x} (a b x) = 1 (a b x)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $a b x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3}}{a b x} (a b x) = 1 (a b x)$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3} = 1 (a b x)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $a b x$ на $1$ .

$a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3} = a b x$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $a b x$ из обеих частей уравнения.

$a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3} - a b x = 0$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $a^{3}$ к обеим частям уравнения.

$a^{2} x + b^{2} x - b^{3} - a b x = a^{3}$

Этап 4.2.2

Добавим $b^{3}$ к обеим частям уравнения.

$a^{2} x + b^{2} x - a b x = a^{3} + b^{3}$

Этап 4.3

Вынесем множитель $x$ из $a^{2} x + b^{2} x - a b x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $x$ из $a^{2} x$ .

$x a^{2} + b^{2} x - a b x = a^{3} + b^{3}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $x$ из $b^{2} x$ .

$x a^{2} + x b^{2} - a b x = a^{3} + b^{3}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $x$ из $- a b x$ .

$x a^{2} + x b^{2} + x (- a b) = a^{3} + b^{3}$

Этап 4.3.4

Вынесем множитель $x$ из $x a^{2} + x b^{2}$ .

$x (a^{2} + b^{2}) + x (- a b) = a^{3} + b^{3}$

Этап 4.3.5

Вынесем множитель $x$ из $x (a^{2} + b^{2}) + x (- a b)$ .

$x (a^{2} + b^{2} - a b) = a^{3} + b^{3}$

Этап 4.4

Разделим каждый член $x (a^{2} + b^{2} - a b) = a^{3} + b^{3}$ на $a^{2} + b^{2} - a b$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Разделим каждый член $x (a^{2} + b^{2} - a b) = a^{3} + b^{3}$ на $a^{2} + b^{2} - a b$ .

$\frac{x (a^{2} + b^{2} - a b)}{a^{2} + b^{2} - a b} = \frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b} + \frac{b^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Этап 4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Сократим общий множитель $a^{2} + b^{2} - a b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (a^{2} + b^{2} - a b)}{a^{2} + b^{2} - a b} = \frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b} + \frac{b^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Этап 4.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b} + \frac{b^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Этап 4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{a^{3} + b^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Этап 4.4.3.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = a$ и $b = b$ .

$x = \frac{(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Этап 4.4.3.3

Сократим общий множитель $a^{2} - a b + b^{2}$ и $a^{2} + b^{2} - a b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.3.1

Изменим порядок членов.

$x = \frac{(a + b) (a^{2} + b^{2} - a b)}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Этап 4.4.3.3.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{(a + b) (a^{2} + b^{2} - a b)}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Этап 4.4.3.3.3

Разделим $a + b$ на $1$ .

$x = a + b$