Алгебра Примеры

$\log_{x - 3} (36) > 2$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\log_{x - 3} (36) = 2$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\log_{x - 3} (36) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

${(x - 3)}^{2} = 36$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x - 3 = \pm \sqrt{36}$

Этап 2.2.2

Упростим $\pm \sqrt{36}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x - 3 = \pm \sqrt{6^{2}}$

Этап 2.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x - 3 = \pm 6$

Этап 2.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x - 3 = 6$

Этап 2.2.3.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 6 + 3$

Этап 2.2.3.2.2

Добавим $6$ и $3$ .

$x = 9$

Этап 2.2.3.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x - 3 = - 6$

Этап 2.2.3.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.4.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = - 6 + 3$

Этап 2.2.3.4.2

Добавим $- 6$ и $3$ .

$x = - 3$

Этап 2.2.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 9, - 3$

Этап 3

Найдем область определения $\log_{x - 3} (36) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим основание в $\log_{x - 3} (36)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x - 3 > 0$

Этап 3.2

Добавим $3$ к обеим частям неравенства.

$x > 3$

Этап 3.3

Зададим основание в $\log_{x - 3} (36)$ равным $1$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 3 = 1$

Этап 3.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 1 + 3$

Этап 3.4.2

Добавим $1$ и $3$ .

$x = 4$

Этап 3.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(3, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$3 < x < 4$

$4 < x < 9$

$x > 9$

Этап 5

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\log_{(- 6) - 3} (36) > 2$

Этап 5.1.3

Логарифм отрицательного числа не определен.

Неопределенные

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\log_{(0) - 3} (36) > 2$

Этап 5.2.3

Логарифм отрицательного числа не определен.

Неопределенные

Этап 5.3

Проверим значение на интервале $3 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выберем значение на интервале $3 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3.5$

Этап 5.3.2

Заменим $x$ на $3.5$ в исходном неравенстве.

$\log_{(3.5) - 3} (36) > 2$

Этап 5.3.3

Левая часть $- 5.169925$ не больше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.4

Проверим значение на интервале $4 < x < 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Выберем значение на интервале $4 < x < 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 5.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\log_{(6) - 3} (36) > 2$

Этап 5.4.3

Левая часть $3.2618595$ больше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.5

Проверим значение на интервале $x > 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Выберем значение на интервале $x > 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 12$

Этап 5.5.2

Заменим $x$ на $12$ в исходном неравенстве.

$\log_{(12) - 3} (36) > 2$

Этап 5.5.3

Левая часть $1.63092975$ не больше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Undefined

$- 3 < x < 3$ Undefined

$3 < x < 4$ Ложь

$4 < x < 9$ Истина

$x > 9$ Ложь

Неопределенные

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$4 < x < 9$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$4 < x < 9$

Интервальное представление:

$(4, 9)$

Этап 8