Алгебра Примеры

$\cos (2 θ) = \cos^{2} (θ) - \frac{1}{2}$

Этап 1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (θ) = \cos^{2} (θ) - \frac{1}{2}$

Этап 2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin^{2} (θ) = \cos^{2} (θ) - \frac{1}{2} - 1$

Этап 3

Вычтем $\cos^{2} (θ)$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = - \frac{1}{2} - 1$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $- \frac{1}{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = - \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.1.2

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Этап 4.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = \frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Этап 4.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = \frac{- 1 - 2}{2}$

Этап 4.1.4.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$- 2 \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = \frac{- 3}{2}$

Этап 4.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 2 \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = - \frac{3}{2}$

Этап 5

Решим уравнение относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $\frac{3}{2}$ к обеим частям уравнения.

$- 2 \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) + \frac{3}{2} = 0$

Этап 5.2

Заменим $\cos^{2} (θ)$ на $1 - \sin^{2} (θ)$ .

$- 2 \sin^{2} (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) + \frac{3}{2} = 0$

Этап 5.3

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим $- 2 \sin^{2} (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) + \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Запишем $- 2 \sin^{2} (θ)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ)}{1} - (1 - \sin^{2} (θ)) + \frac{3}{2} = 0$

Этап 5.3.1.1.2

Умножим $\frac{- 2 \sin^{2} (θ)}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ)}{1} \cdot \frac{2}{2} - (1 - \sin^{2} (θ)) + \frac{3}{2} = 0$

Этап 5.3.1.1.3

Умножим $\frac{- 2 \sin^{2} (θ)}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ) \cdot 2}{2} - (1 - \sin^{2} (θ)) + \frac{3}{2} = 0$

Этап 5.3.1.1.4

Запишем $- (1 - \sin^{2} (θ))$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ) \cdot 2}{2} + \frac{- (1 - \sin^{2} (θ))}{1} + \frac{3}{2} = 0$

Этап 5.3.1.1.5

Умножим $\frac{- (1 - \sin^{2} (θ))}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ) \cdot 2}{2} + \frac{- (1 - \sin^{2} (θ))}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = 0$

Этап 5.3.1.1.6

Умножим $\frac{- (1 - \sin^{2} (θ))}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ) \cdot 2}{2} + \frac{- (1 - \sin^{2} (θ)) \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} = 0$

Этап 5.3.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ) \cdot 2 - (1 - \sin^{2} (θ)) \cdot 2 + 3}{2} = 0$

Этап 5.3.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) \cdot 2 + 3}{2} = 0$

Этап 5.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ) + (- 1 \cdot 1 - - \sin^{2} (θ)) \cdot 2 + 3}{2} = 0$

Этап 5.3.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ) + (- 1 - - \sin^{2} (θ)) \cdot 2 + 3}{2} = 0$

Этап 5.3.1.3.4

Умножим $- - \sin^{2} (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ) + (- 1 + 1 \sin^{2} (θ)) \cdot 2 + 3}{2} = 0$

Этап 5.3.1.3.4.2

Умножим $\sin^{2} (θ)$ на $1$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ) + (- 1 + \sin^{2} (θ)) \cdot 2 + 3}{2} = 0$

Этап 5.3.1.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ) - 1 \cdot 2 + \sin^{2} (θ) \cdot 2 + 3}{2} = 0$

Этап 5.3.1.3.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ) - 2 + \sin^{2} (θ) \cdot 2 + 3}{2} = 0$

Этап 5.3.1.3.7

Перенесем $2$ влево от $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ) - 2 + 2 \sin^{2} (θ) + 3}{2} = 0$

Этап 5.3.1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.4.1

Добавим $- 4 \sin^{2} (θ)$ и $2 \sin^{2} (θ)$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ) - 2 + 3}{2} = 0$

Этап 5.3.1.4.2

Добавим $- 2$ и $3$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ) + 1}{2} = 0$

Этап 5.3.1.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 \sin^{2} (θ)$ .

$\frac{- (2 \sin^{2} (θ)) + 1}{2} = 0$

Этап 5.3.1.4.4

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 \sin^{2} (θ)) - 1 (- 1)}{2} = 0$

Этап 5.3.1.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 \sin^{2} (θ)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 \sin^{2} (θ) - 1)}{2} = 0$

Этап 5.3.1.4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.4.6.1

Перепишем $- (2 \sin^{2} (θ) - 1)$ в виде $- 1 (2 \sin^{2} (θ) - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 \sin^{2} (θ) - 1)}{2} = 0$

Этап 5.3.1.4.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 \sin^{2} (θ) - 1}{2} = 0$

Этап 5.3.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 \sin^{2} (θ) - 1 = 0$

Этап 5.3.3

Решим уравнение относительно $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \sin^{2} (θ) = 1$

Этап 5.3.3.2

Разделим каждый член $2 \sin^{2} (θ) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Разделим каждый член $2 \sin^{2} (θ) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.3.3.2.2.1.2

Разделим $\sin^{2} (θ)$ на $1$ .

$\sin^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

Этап 5.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 5.3.3.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.3.3.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 5.3.3.4.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.3.3.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 5.3.3.4.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 5.3.3.4.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 5.3.3.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 5.3.3.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 5.3.3.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.3.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.3.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.3.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.3.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 5.3.3.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.3.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.3.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.3.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.3.4

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.3.5

Решим относительно $θ$ в $\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 5.3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Этап 5.3.5.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = π - \frac{π}{4}$

Этап 5.3.5.4

Упростим $π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.3.5.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.3.5.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 5.3.5.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.4.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 5.3.5.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Этап 5.3.5.5

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.3.5.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.3.5.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.3.5.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.3.5.6

Период функции $\sin (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.3.6

Решим относительно $θ$ в $\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 5.3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.2.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ : $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Этап 5.3.6.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Этап 5.3.6.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Этап 5.3.6.4.2

Результирующий угол $\frac{5 π}{4}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{4} + π$ на полный оборот.

$θ = \frac{5 π}{4}$

Этап 5.3.6.5

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.3.6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.3.6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.3.6.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.3.6.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Этап 5.3.6.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.3.6.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.3.6.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 5.3.6.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.6.4.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Этап 5.3.6.6.4.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Этап 5.3.6.6.5

Перечислим новые углы.

$θ = \frac{7 π}{4}$

Этап 5.3.6.7

Период функции $\sin (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.3.7

Перечислим все решения.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.3.8

Объединим ответы.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$