Алгебра Примеры

$f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$

Этап 1

Запишем $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ в виде уравнения.

$y = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = {(3 y)}^{- \frac{2}{3}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде ${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$ .

${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$

Этап 3.2

Возведем обе части уравнения в степень $- \frac{3}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 3.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим ${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y)}^{- \frac{2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 3.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3}$ в числитель.

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 3.3.1.1.1.2.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2}$ в числитель.

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 3.3.1.1.1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

${(3 y)}^{\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 3.3.1.1.1.2.4

Сократим общий множитель.

${(3 y)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 3.3.1.1.1.2.5

Перепишем это выражение.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 3.3.1.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 3.3.1.1.1.3.2

Сократим общий множитель.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 3.3.1.1.1.3.3

Перепишем это выражение.

${(3 y)}^{- - 1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 3.3.1.1.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

${(3 y)}^{1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 3.3.1.1.2

Упростим.

$3 y = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 y = \pm \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 3.4.2.3.2

Объединим.

$y = \frac{1 \cdot 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

Этап 3.4.2.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.3.1

Умножим $1$ на $1$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

Этап 3.4.2.3.3.2

Перенесем $3$ влево от $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.4.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 3.4.4.3.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ обратной к $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ и $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{1}{3 \sqrt{x^{3}}}$

Этап 5.3.2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{3}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{3} \geq 0$

Этап 5.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Этап 5.3.3.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Этап 5.3.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 5.3.3.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x \geq 0$

Этап 5.3.4

Зададим знаменатель в $\frac{1}{3 \sqrt{x^{3}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt{x^{3}} = 0$

Этап 5.3.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(3 \sqrt{x^{3}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 5.3.5.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{3}}$ в виде $x^{\frac{3}{2}}$ .

${(3 x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 5.3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.2.1

Упростим ${(3 x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 x^{\frac{3}{2}}$ .

$3^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 5.3.5.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$9 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 5.3.5.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 5.3.5.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$9 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 5.3.5.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$9 x^{3} = 0^{2}$

Этап 5.3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$9 x^{3} = 0$

Этап 5.3.5.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1

Разделим каждый член $9 x^{3} = 0$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1.1

Разделим каждый член $9 x^{3} = 0$ на $9$ .

$\frac{9 x^{3}}{9} = \frac{0}{9}$

Этап 5.3.5.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x^{3}}{9} = \frac{0}{9}$

Этап 5.3.5.3.1.2.1.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{9}$

Этап 5.3.5.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1.3.1

Разделим $0$ на $9$ .

$x^{3} = 0$

Этап 5.3.5.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 5.3.5.3.3

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 5.3.5.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 5.3.6

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(0, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(3 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.4.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{1}{\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}}}$

Этап 5.4.2

Зададим знаменатель в $\frac{1}{\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}} = 0$

Этап 5.4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Этап 5.4.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}}$ в виде ${(3 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

${({(3 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 5.4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.2.1

Упростим ${({(3 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 5.4.3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 5.4.3.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 x)}^{2} = 0^{3}$

Этап 5.4.3.2.2.1.2

Применим правило умножения к $3 x$ .

$3^{2} x^{2} = 0^{3}$

Этап 5.4.3.2.2.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$9 x^{2} = 0^{3}$

Этап 5.4.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$9 x^{2} = 0$

Этап 5.4.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1

Разделим каждый член $9 x^{2} = 0$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1.1

Разделим каждый член $9 x^{2} = 0$ на $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{0}{9}$

Этап 5.4.3.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{0}{9}$

Этап 5.4.3.3.1.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{9}$

Этап 5.4.3.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1.3.1

Разделим $0$ на $9$ .

$x^{2} = 0$

Этап 5.4.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.4.3.3.3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.4.3.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.4.3.3.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5.4.4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ , представляет область определения $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ — обратная к $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6