Алгебра Примеры

$\frac{7 x}{3 x + 3} - \frac{5}{4 x - 4} = \frac{3 x}{2 x + 2}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{7 x}{3 (x) + 3} - \frac{5}{4 x - 4} = \frac{3 x}{2 x + 2}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{7 x}{3 (x) + 3 (1)} - \frac{5}{4 x - 4} = \frac{3 x}{2 x + 2}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x) + 3 (1)$ .

$\frac{7 x}{3 (x + 1)} - \frac{5}{4 x - 4} = \frac{3 x}{2 x + 2}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\frac{7 x}{3 (x + 1)} - \frac{5}{4 (x) - 4} = \frac{3 x}{2 x + 2}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\frac{7 x}{3 (x + 1)} - \frac{5}{4 (x) + 4 (- 1)} = \frac{3 x}{2 x + 2}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (x) + 4 (- 1)$ .

$\frac{7 x}{3 (x + 1)} - \frac{5}{4 (x - 1)} = \frac{3 x}{2 x + 2}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{7 x}{3 (x + 1)} - \frac{5}{4 (x - 1)} = \frac{3 x}{2 (x) + 2}$

Этап 1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{7 x}{3 (x + 1)} - \frac{5}{4 (x - 1)} = \frac{3 x}{2 (x) + 2 (1)}$

Этап 1.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{7 x}{3 (x + 1)} - \frac{5}{4 (x - 1)} = \frac{3 x}{2 (x + 1)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3 (x + 1), 4 (x - 1), 2 (x + 1)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 2.4

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2$

Этап 2.5

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 2.6

НОК $3, 4, 2$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Этап 2.7

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 3$

Этап 2.7.2

Умножим $4$ на $3$ .

$12$

Этап 2.8

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.10

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.11

НОК $x + 1, x - 1, x + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 1) (x - 1)$

Этап 2.12

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$12 (x + 1) (x - 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{7 x}{3 (x + 1)} - \frac{5}{4 (x - 1)} = \frac{3 x}{2 (x + 1)}$ умножим на $12 (x + 1) (x - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{7 x}{3 (x + 1)} - \frac{5}{4 (x - 1)} = \frac{3 x}{2 (x + 1)}$ на $12 (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{7 x}{3 (x + 1)} (12 (x + 1) (x - 1)) - \frac{5}{4 (x - 1)} (12 (x + 1) (x - 1)) = \frac{3 x}{2 (x + 1)} (12 (x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 \frac{7 x}{3 (x + 1)} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{5}{4 (x - 1)} (12 (x + 1) (x - 1)) = \frac{3 x}{2 (x + 1)} (12 (x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$3 (4) \frac{7 x}{3 (x + 1)} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{5}{4 (x - 1)} (12 (x + 1) (x - 1)) = \frac{3 x}{2 (x + 1)} (12 (x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 4 \frac{7 x}{3 (x + 1)} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{5}{4 (x - 1)} (12 (x + 1) (x - 1)) = \frac{3 x}{2 (x + 1)} (12 (x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$4 \frac{7 x}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{5}{4 (x - 1)} (12 (x + 1) (x - 1)) = \frac{3 x}{2 (x + 1)} (12 (x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.3

Объединим $4$ и $\frac{7 x}{x + 1}$ .

$\frac{4 (7 x)}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{5}{4 (x - 1)} (12 (x + 1) (x - 1)) = \frac{3 x}{2 (x + 1)} (12 (x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $7$ на $4$ .

$\frac{28 x}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{5}{4 (x - 1)} (12 (x + 1) (x - 1)) = \frac{3 x}{2 (x + 1)} (12 (x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{28 x}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{5}{4 (x - 1)} (12 (x + 1) (x - 1)) = \frac{3 x}{2 (x + 1)} (12 (x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$28 x (x - 1) - \frac{5}{4 (x - 1)} (12 (x + 1) (x - 1)) = \frac{3 x}{2 (x + 1)} (12 (x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$28 x \cdot x + 28 x \cdot - 1 - \frac{5}{4 (x - 1)} (12 (x + 1) (x - 1)) = \frac{3 x}{2 (x + 1)} (12 (x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Перенесем $x$ .

$28 (x \cdot x) + 28 x \cdot - 1 - \frac{5}{4 (x - 1)} (12 (x + 1) (x - 1)) = \frac{3 x}{2 (x + 1)} (12 (x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.7.2

Умножим $x$ на $x$ .

$28 x^{2} + 28 x \cdot - 1 - \frac{5}{4 (x - 1)} (12 (x + 1) (x - 1)) = \frac{3 x}{2 (x + 1)} (12 (x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.8

Умножим $- 1$ на $28$ .

$28 x^{2} - 28 x - \frac{5}{4 (x - 1)} (12 (x + 1) (x - 1)) = \frac{3 x}{2 (x + 1)} (12 (x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.9

Сократим общий множитель $4 (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.9.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{4 (x - 1)}$ в числитель.

$28 x^{2} - 28 x + \frac{- 5}{4 (x - 1)} (12 (x + 1) (x - 1)) = \frac{3 x}{2 (x + 1)} (12 (x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.9.2

Вынесем множитель $4 (x - 1)$ из $12 (x + 1) (x - 1)$ .

$28 x^{2} - 28 x + \frac{- 5}{4 (x - 1)} (4 (x - 1) (3 (x + 1))) = \frac{3 x}{2 (x + 1)} (12 (x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.9.3

Сократим общий множитель.

$28 x^{2} - 28 x + \frac{- 5}{4 (x - 1)} (4 (x - 1) (3 (x + 1))) = \frac{3 x}{2 (x + 1)} (12 (x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.9.4

Перепишем это выражение.

$28 x^{2} - 28 x - 5 (3 (x + 1)) = \frac{3 x}{2 (x + 1)} (12 (x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.10

Умножим $3$ на $- 5$ .

$28 x^{2} - 28 x - 15 (x + 1) = \frac{3 x}{2 (x + 1)} (12 (x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.11

Применим свойство дистрибутивности.

$28 x^{2} - 28 x - 15 x - 15 \cdot 1 = \frac{3 x}{2 (x + 1)} (12 (x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.12

Умножим $- 15$ на $1$ .

$28 x^{2} - 28 x - 15 x - 15 = \frac{3 x}{2 (x + 1)} (12 (x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.2

Вычтем $15 x$ из $- 28 x$ .

$28 x^{2} - 43 x - 15 = \frac{3 x}{2 (x + 1)} (12 (x + 1) (x - 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$28 x^{2} - 43 x - 15 = 12 \frac{3 x}{2 (x + 1)} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$28 x^{2} - 43 x - 15 = 2 (6) \frac{3 x}{2 (x + 1)} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$28 x^{2} - 43 x - 15 = 2 \cdot 6 \frac{3 x}{2 (x + 1)} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$28 x^{2} - 43 x - 15 = 6 \frac{3 x}{x + 1} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.3.3

Объединим $6$ и $\frac{3 x}{x + 1}$ .

$28 x^{2} - 43 x - 15 = \frac{6 (3 x)}{x + 1} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.3.4

Умножим $3$ на $6$ .

$28 x^{2} - 43 x - 15 = \frac{18 x}{x + 1} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.3.5

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Сократим общий множитель.

$28 x^{2} - 43 x - 15 = \frac{18 x}{x + 1} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.3.5.2

Перепишем это выражение.

$28 x^{2} - 43 x - 15 = 18 x (x - 1)$

Этап 3.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$28 x^{2} - 43 x - 15 = 18 x \cdot x + 18 x \cdot - 1$

Этап 3.3.7

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Перенесем $x$ .

$28 x^{2} - 43 x - 15 = 18 (x \cdot x) + 18 x \cdot - 1$

Этап 3.3.7.2

Умножим $x$ на $x$ .

$28 x^{2} - 43 x - 15 = 18 x^{2} + 18 x \cdot - 1$

Этап 3.3.8

Умножим $- 1$ на $18$ .

$28 x^{2} - 43 x - 15 = 18 x^{2} - 18 x$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $18 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$28 x^{2} - 43 x - 15 - 18 x^{2} = - 18 x$

Этап 4.1.2

Добавим $18 x$ к обеим частям уравнения.

$28 x^{2} - 43 x - 15 - 18 x^{2} + 18 x = 0$

Этап 4.1.3

Вычтем $18 x^{2}$ из $28 x^{2}$ .

$10 x^{2} - 43 x - 15 + 18 x = 0$

Этап 4.1.4

Добавим $- 43 x$ и $18 x$ .

$10 x^{2} - 25 x - 15 = 0$

Этап 4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10 x^{2} - 25 x - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $5$ из $10 x^{2}$ .

$5 (2 x^{2}) - 25 x - 15 = 0$

Этап 4.2.1.2

Вынесем множитель $5$ из $- 25 x$ .

$5 (2 x^{2}) + 5 (- 5 x) - 15 = 0$

Этап 4.2.1.3

Вынесем множитель $5$ из $- 15$ .

$5 (2 x^{2}) + 5 (- 5 x) + 5 (- 3) = 0$

Этап 4.2.1.4

Вынесем множитель $5$ из $5 (2 x^{2}) + 5 (- 5 x)$ .

$5 (2 x^{2} - 5 x) + 5 (- 3) = 0$

Этап 4.2.1.5

Вынесем множитель $5$ из $5 (2 x^{2} - 5 x) + 5 (- 3)$ .

$5 (2 x^{2} - 5 x - 3) = 0$

Этап 4.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 x$ .

$5 (2 x^{2} - 5 x - 3) = 0$

Этап 4.2.2.1.1.2

Запишем $- 5$ как $1$ плюс $- 6$

$5 (2 x^{2} + (1 - 6) x - 3) = 0$

Этап 4.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3) = 0$

Этап 4.2.2.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$5 (2 x^{2} + x - 6 x - 3) = 0$

Этап 4.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$5 ((2 x^{2} + x) - 6 x - 3) = 0$

Этап 4.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$5 (x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1)) = 0$

Этап 4.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$5 ((2 x + 1) (x - 3)) = 0$

Этап 4.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$5 (2 x + 1) (x - 3) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 4.4.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 4.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 4.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 4.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 4.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 4.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $5 (2 x + 1) (x - 3) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{2}, 3$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{1}{2}, 3$

Десятичная форма:

$x = - 0.5, 3$