Алгебра Примеры

$\frac{1}{x^{2} - x} \leq \frac{1}{6}$

Этап 1

Умножим обе части на $x^{2} - x$ .

$\frac{1}{x^{2} - x} (x^{2} - x) = \frac{1}{6} (x^{2} - x)$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{2} - x} (x^{2} - x) = \frac{1}{6} (x^{2} - x)$

Этап 2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{1}{6} (x^{2} - x)$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $\frac{1}{6} (x^{2} - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = \frac{1}{6} x^{2} + \frac{1}{6} (- x)$

Этап 2.2.1.2

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{2}$ .

$1 = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{6} (- x)$

Этап 2.2.1.3

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x$ .

$1 = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{6}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{6} = 1$ .

$\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{6} = 1$

Этап 3.2

Каждый член в $\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{6} = 1$ умножим на $6$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{6} = 1$ на $6$ .

$\frac{x^{2}}{6} \cdot 6 - \frac{x}{6} \cdot 6 = 1 \cdot 6$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2}}{6} \cdot 6 - \frac{x}{6} \cdot 6 = 1 \cdot 6$

Этап 3.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} - \frac{x}{6} \cdot 6 = 1 \cdot 6$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{6}$ в числитель.

$x^{2} + \frac{- x}{6} \cdot 6 = 1 \cdot 6$

Этап 3.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} + \frac{- x}{6} \cdot 6 = 1 \cdot 6$

Этап 3.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} - x = 1 \cdot 6$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Умножим $6$ на $1$ .

$x^{2} - x = 6$

Этап 3.3

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Этап 3.4

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.7

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 3.7.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 3, - 2$

Этап 4

Найдем область определения $\frac{1}{x (x - 1)} - \frac{1}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x (x - 1)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x (x - 1) = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 4.2.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.2.3

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, 1$

Этап 4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{{(- 4)}^{2} - (- 4)} \leq \frac{1}{6}$

Этап 6.1.3

Левая часть $0.05$ меньше правой части $0.1\overline{6}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $- 1$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{{(- 1)}^{2} - (- 1)} \leq \frac{1}{6}$

Этап 6.2.3

Левая часть $0.5$ больше правой части $0.1\overline{6}$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.5$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $0.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{{(0.5)}^{2} - (0.5)} \leq \frac{1}{6}$

Этап 6.3.3

Левая часть $- 4$ меньше правой части $0.1\overline{6}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.4

Проверим значение на интервале $1 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 6.4.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{{(2)}^{2} - (2)} \leq \frac{1}{6}$

Этап 6.4.3

Левая часть $0.5$ больше правой части $0.1\overline{6}$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.5

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 6.5.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{{(6)}^{2} - (6)} \leq \frac{1}{6}$

Этап 6.5.3

Левая часть $0.0\overline{3}$ меньше правой части $0.1\overline{6}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Истина

$1 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Истина

$1 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 2$ или $0 < x < 1$ или $x \geq 3$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x \leq - 2 or 0 < x < 1 or x \geq 3$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2] \cup (0, 1) \cup [3, \infty)$

Этап 9