Алгебра Примеры

$\frac{x^{3} - 8}{x^{2} + 3 x - 10} \div \frac{8 x - 40}{x^{2} - 25}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{x^{3} - 8}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 2^{3}}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Этап 2.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Этап 3

Разложим $x^{2} + 3 x - 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 10$ , а сумма — $3$ .

$- 2, 5$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{(x - 2) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Этап 4

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{(x - 2) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{x^{2} - 5^{2}}{8 x - 40}$

Этап 5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{8 x - 40}$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x - 40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x) - 40}$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $8$ из $- 40$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{8 x + 8 \cdot - 5}$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $8$ из $8 x + 8 \cdot - 5$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x - 5)}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x - 5)}$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$(x^{2} + 2 x + 4) \frac{x - 5}{8 (x - 5)}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель.

$(x^{2} + 2 x + 4) \frac{x - 5}{8 (x - 5)}$

Этап 6.3.2

Перепишем это выражение.

$(x^{2} + 2 x + 4) \frac{1}{8}$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \frac{1}{8} + 2 x \frac{1}{8} + 4 (\frac{1}{8})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{x^{2}}{8} + 2 x \frac{1}{8} + 4 (\frac{1}{8})$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{x^{2}}{8} + 2 (x) \frac{1}{8} + 4 (\frac{1}{8})$

Этап 7.2.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{x^{2}}{8} + 2 (x) \frac{1}{2 (4)} + 4 (\frac{1}{8})$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2}}{8} + 2 x \frac{1}{2 \cdot 4} + 4 (\frac{1}{8})$

Этап 7.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2}}{8} + x \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{8})$

Этап 7.3

Объединим $x$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 4 (\frac{1}{8})$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 4 \frac{1}{4 (2)}$

Этап 7.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 4 \frac{1}{4 \cdot 2}$

Этап 7.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 8

Чтобы записать $\frac{x}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{x}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Этап 9.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x \cdot 2}{8} + \frac{1}{2}$

Этап 10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} + x \cdot 2}{8} + \frac{1}{2}$

Этап 11

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + x \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2}{8} + \frac{1}{2}$

Этап 11.2

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 2$ .

$\frac{x \cdot x + x (2)}{8} + \frac{1}{2}$

Этап 11.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (2)$ .

$\frac{x (x + 2)}{8} + \frac{1}{2}$

Этап 12

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x (x + 2)}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 13

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x (x + 2)}{8} + \frac{4}{2 \cdot 4}$

Этап 13.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{x (x + 2)}{8} + \frac{4}{8}$

Этап 14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (x + 2) + 4}{8}$

Этап 15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + 4}{8}$

Этап 15.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 + 4}{8}$

Этап 15.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{8}$