Алгебра Примеры

${(x - \frac{18}{x})}^{2} - 4 (x - \frac{18}{x}) - 21 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x - \frac{18}{x}$ . Подставим $u$ вместо $x - \frac{18}{x}$ для всех.

$u^{2} - 4 u - 21 = 0$

Этап 1.2

Разложим $u^{2} - 4 u - 21$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 21$ , а сумма — $- 4$ .

$- 7, 3$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 7) (u + 3) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - \frac{18}{x}$ .

$(x - \frac{18}{x} - 7) (x - \frac{18}{x} + 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - \frac{18}{x} - 7 = 0$

$x - \frac{18}{x} + 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $x - \frac{18}{x} - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x - \frac{18}{x} - 7$ к $0$ .

$x - \frac{18}{x} - 7 = 0$

Этап 3.2

Решим $x - \frac{18}{x} - 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x, 1, 1$

Этап 3.2.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 3.2.2

Каждый член в $x - \frac{18}{x} - 7 = 0$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим каждый член $x - \frac{18}{x} - 7 = 0$ на $x$ .

$x \cdot x - \frac{18}{x} x - 7 x = 0 x$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - \frac{18}{x} x - 7 x = 0 x$

Этап 3.2.2.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{18}{x}$ в числитель.

$x^{2} + \frac{- 18}{x} x - 7 x = 0 x$

Этап 3.2.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} + \frac{- 18}{x} x - 7 x = 0 x$

Этап 3.2.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 18 - 7 x = 0 x$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Умножим $0$ на $x$ .

$x^{2} - 18 - 7 x = 0$

Этап 3.2.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разложим $x^{2} - 18 - 7 x$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 18$ , а сумма — $- 7$ .

$- 9, 2$

Этап 3.2.3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 9) (x + 2) = 0$

Этап 3.2.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 9 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 3.2.3.3

Приравняем $x - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.3.1

Приравняем $x - 9$ к $0$ .

$x - 9 = 0$

Этап 3.2.3.3.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 3.2.3.4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 3.2.3.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.2.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 9) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 9, - 2$

Этап 4

Приравняем $x - \frac{18}{x} + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - \frac{18}{x} + 3$ к $0$ .

$x - \frac{18}{x} + 3 = 0$

Этап 4.2

Решим $x - \frac{18}{x} + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x, 1, 1$

Этап 4.2.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 4.2.2

Каждый член в $x - \frac{18}{x} + 3 = 0$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим каждый член $x - \frac{18}{x} + 3 = 0$ на $x$ .

$x \cdot x - \frac{18}{x} x + 3 x = 0 x$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - \frac{18}{x} x + 3 x = 0 x$

Этап 4.2.2.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{18}{x}$ в числитель.

$x^{2} + \frac{- 18}{x} x + 3 x = 0 x$

Этап 4.2.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} + \frac{- 18}{x} x + 3 x = 0 x$

Этап 4.2.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 18 + 3 x = 0 x$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Умножим $0$ на $x$ .

$x^{2} - 18 + 3 x = 0$

Этап 4.2.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разложим $x^{2} - 18 + 3 x$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 18$ , а сумма — $3$ .

$- 3, 6$

Этап 4.2.3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 6) = 0$

Этап 4.2.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 4.2.3.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.2.3.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4.2.3.4

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.4.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 4.2.3.4.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 4.2.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 6) = 0$ верно.

$x = 3, - 6$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - \frac{18}{x} - 7) (x - \frac{18}{x} + 3) = 0$ верно.

$x = 9, - 2, 3, - 6$