Алгебра Примеры

$7^{x - 3} = 4 \cdot 5^{\frac{x}{2}}$

Этап 1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln (7^{x - 3}) = \ln (4 \cdot 5^{\frac{x}{2}})$

Этап 2

Развернем $\ln (7^{x - 3})$ , вынося $x - 3$ из логарифма.

$(x - 3) \ln (7) = \ln (4 \cdot 5^{\frac{x}{2}})$

Этап 3

Перепишем $\ln (4 \cdot 5^{\frac{x}{2}})$ в виде $\ln (4) + \ln (5^{\frac{x}{2}})$ .

$(x - 3) \ln (7) = \ln (4) + \ln (5^{\frac{x}{2}})$

Этап 4

Развернем $\ln (5^{\frac{x}{2}})$ , вынося $\frac{x}{2}$ из логарифма.

$(x - 3) \ln (7) = \ln (4) + \frac{x}{2} \ln (5)$

Этап 5

Объединим $\frac{x}{2}$ и $\ln (5)$ .

$(x - 3) \ln (7) = \ln (4) + \frac{x \ln (5)}{2}$

Этап 6

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Упростим $(x - 3) \ln (7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (7) - 3 \ln (7) = \ln (4) + \frac{x \ln (5)}{2}$

Этап 6.1.1.2

Упростим $- 3 \ln (7)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$x \ln (7) - \ln (7^{3}) = \ln (4) + \frac{x \ln (5)}{2}$

Этап 6.1.1.3

Возведем $7$ в степень $3$ .

$x \ln (7) - \ln (343) = \ln (4) + \frac{x \ln (5)}{2}$

Этап 6.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$x \ln (7) - \ln (343) - \ln (4) - \frac{x \ln (5)}{2} = 0$

Этап 6.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Добавим $\ln (343)$ к обеим частям уравнения.

$x \ln (7) - \ln (4) - \frac{x \ln (5)}{2} = \ln (343)$

Этап 6.3.2

Добавим $\ln (4)$ к обеим частям уравнения.

$x \ln (7) - \frac{x \ln (5)}{2} = \ln (343) + \ln (4)$

Этап 6.4

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (7) - \frac{x \ln (5)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (7)$ .

$x (\ln (7)) - \frac{x \ln (5)}{2} = \ln (343) + \ln (4)$

Этап 6.4.2

Вынесем множитель $x$ из $- \frac{x \ln (5)}{2}$ .

$x (\ln (7)) + x (- \frac{\ln (5)}{2}) = \ln (343) + \ln (4)$

Этап 6.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln (7)) + x (- \frac{\ln (5)}{2})$ .

$x (\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}) = \ln (343) + \ln (4)$

Этап 6.5

Разделим каждый член $x (\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}) = \ln (343) + \ln (4)$ на $\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Разделим каждый член $x (\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}) = \ln (343) + \ln (4)$ на $\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}$ .

$\frac{x (\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2})}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}} = \frac{\ln (343)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Этап 6.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сократим общий множитель $\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2})}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}} = \frac{\ln (343)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Этап 6.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (343)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Этап 6.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1.1.1

Чтобы записать $\ln (7)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{\ln (343)}{\ln (7) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Этап 6.5.3.1.1.2

Объединим $\ln (7)$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{\ln (343)}{\frac{\ln (7) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Этап 6.5.3.1.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{\ln (343)}{\frac{\ln (7) \cdot 2 - \ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Этап 6.5.3.1.1.4

Перенесем $2$ влево от $\ln (7)$ .

$x = \frac{\ln (343)}{\frac{2 \ln (7) - \ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Этап 6.5.3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \ln (343) \frac{2}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Этап 6.5.3.1.3

Объединим $\ln (343)$ и $\frac{2}{2 \ln (7) - \ln (5)}$ .

$x = \frac{\ln (343) \cdot 2}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Этап 6.5.3.1.4

Перенесем $2$ влево от $\ln (343)$ .

$x = \frac{2 \cdot \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Этап 6.5.3.1.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1.5.1

Чтобы записать $\ln (7)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (5)}{2}}$

Этап 6.5.3.1.5.2

Объединим $\ln (7)$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\frac{\ln (7) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (5)}{2}}$

Этап 6.5.3.1.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\frac{\ln (7) \cdot 2 - \ln (5)}{2}}$

Этап 6.5.3.1.5.4

Перенесем $2$ влево от $\ln (7)$ .

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\frac{2 \ln (7) - \ln (5)}{2}}$

Этап 6.5.3.1.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \ln (4) \frac{2}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Этап 6.5.3.1.7

Объединим $\ln (4)$ и $\frac{2}{2 \ln (7) - \ln (5)}$ .

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4) \cdot 2}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Этап 6.5.3.1.8

Перенесем $2$ влево от $\ln (4)$ .

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{2 \ln (4)}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Этап 6.5.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 \ln (343) + 2 \ln (4)}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Этап 6.5.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \ln (343) + 2 \ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \ln (343)$ .

$x = \frac{2 \ln (343) + 2 \ln (4)}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Этап 6.5.3.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \ln (4)$ .

$x = \frac{2 \ln (343) + 2 \ln (4)}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Этап 6.5.3.2.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \ln (343) + 2 \ln (4)$ .

$x = \frac{2 (\ln (343) + \ln (4))}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{2 (\ln (343) + \ln (4))}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Десятичная форма:

$x = 6.33024935 \dots$