Алгебра Примеры

$\sqrt[3]{x + 1} = 2 x + 2$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{x + 1}}^{3} = {(2 x + 2)}^{3}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 x + 2)}^{3}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 x + 2)}^{3}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 x + 2)}^{3}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 1)}^{1} = {(2 x + 2)}^{3}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$x + 1 = {(2 x + 2)}^{3}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(2 x + 2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$x + 1 = {(2 x)}^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Этап 2.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим правило умножения к $2 x$ .

$x + 1 = 2^{3} x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Этап 2.3.1.2.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Этап 2.3.1.2.3

Применим правило умножения к $2 x$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 3 (2^{2} x^{2}) \cdot 2 + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Этап 2.3.1.2.4

Умножим $2^{2}$ на $2$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.4.1

Перенесем $2$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 3 (2 \cdot 2^{2} x^{2}) + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Этап 2.3.1.2.4.2

Умножим $2$ на $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.4.2.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 3 (2^{1} \cdot 2^{2} x^{2}) + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Этап 2.3.1.2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x + 1 = 8 x^{3} + 3 (2^{1 + 2} x^{2}) + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Этап 2.3.1.2.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 3 (2^{3} x^{2}) + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Этап 2.3.1.2.5

Возведем $2$ в степень $3$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 3 (8 x^{2}) + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Этап 2.3.1.2.6

Умножим $8$ на $3$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 24 x^{2} + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Этап 2.3.1.2.7

Умножим $2$ на $2^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.7.1

Перенесем $2^{2}$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 24 x^{2} + 3 (2^{2} \cdot 2 x) + 2^{3}$

Этап 2.3.1.2.7.2

Умножим $2^{2}$ на $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.7.2.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 24 x^{2} + 3 (2^{2} \cdot 2^{1} x) + 2^{3}$

Этап 2.3.1.2.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x + 1 = 8 x^{3} + 24 x^{2} + 3 (2^{2 + 1} x) + 2^{3}$

Этап 2.3.1.2.7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 24 x^{2} + 3 (2^{3} x) + 2^{3}$

Этап 2.3.1.2.8

Возведем $2$ в степень $3$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 24 x^{2} + 3 (8 x) + 2^{3}$

Этап 2.3.1.2.9

Умножим $8$ на $3$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 24 x^{2} + 24 x + 2^{3}$

Этап 2.3.1.2.10

Возведем $2$ в степень $3$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 24 x^{2} + 24 x + 8$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$8 x^{3} + 24 x^{2} + 24 x + 8 = x + 1$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$8 x^{3} + 24 x^{2} + 24 x + 8 - x = 1$

Этап 3.2.2

Вычтем $x$ из $24 x$ .

$8 x^{3} + 24 x^{2} + 23 x + 8 = 1$

Этап 3.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$8 x^{3} + 24 x^{2} + 23 x + 8 - 1 = 0$

Этап 3.4

Вычтем $1$ из $8$ .

$8 x^{3} + 24 x^{2} + 23 x + 7 = 0$

Этап 3.5

Разложим $8 x^{3} + 24 x^{2} + 23 x + 7$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Этап 3.5.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.125, \pm 0.5, \pm 0.25, \pm 7, \pm 0.875, \pm 3.5, \pm 1.75$

Этап 3.5.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

$8 {(- 1)}^{3} + 24 {(- 1)}^{2} + 23 \cdot - 1 + 7$

Этап 3.5.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$8 \cdot - 1 + 24 {(- 1)}^{2} + 23 \cdot - 1 + 7$

Этап 3.5.3.3

Умножим $8$ на $- 1$ .

$- 8 + 24 {(- 1)}^{2} + 23 \cdot - 1 + 7$

Этап 3.5.3.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 8 + 24 \cdot 1 + 23 \cdot - 1 + 7$

Этап 3.5.3.5

Умножим $24$ на $1$ .

$- 8 + 24 + 23 \cdot - 1 + 7$

Этап 3.5.3.6

Добавим $- 8$ и $24$ .

$16 + 23 \cdot - 1 + 7$

Этап 3.5.3.7

Умножим $23$ на $- 1$ .

$16 - 23 + 7$

Этап 3.5.3.8

Вычтем $23$ из $16$ .

$- 7 + 7$

Этап 3.5.3.9

Добавим $- 7$ и $7$ .

$0$

Этап 3.5.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{8 x^{3} + 24 x^{2} + 23 x + 7}{x + 1}$

Этап 3.5.5

Разделим $8 x^{3} + 24 x^{2} + 23 x + 7$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$23 x$

$7$

Этап 3.5.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$8 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$

Этап 3.5.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$8 x^{2}$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			+	$8 x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Этап 3.5.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 x^{3} + 8 x^{2}$ .

				$8 x^{2}$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Этап 3.5.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$8 x^{2}$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$

Этап 3.5.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$8 x^{2}$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$

Этап 3.5.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $16 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$8 x^{2}$	+	$16 x$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$

Этап 3.5.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$8 x^{2}$	+	$16 x$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$16 x^{2}$	+	$16 x$

Этап 3.5.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $16 x^{2} + 16 x$ .

				$8 x^{2}$	+	$16 x$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$16 x$

Этап 3.5.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$8 x^{2}$	+	$16 x$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$7 x$

Этап 3.5.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$8 x^{2}$	+	$16 x$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$7 x$	+	$7$

Этап 3.5.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $7 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$8 x^{2}$	+	$16 x$	+	$7$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$7 x$	+	$7$

Этап 3.5.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$8 x^{2}$	+	$16 x$	+	$7$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$7 x$	+	$7$
							+	$7 x$	+	$7$

Этап 3.5.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $7 x + 7$ .

				$8 x^{2}$	+	$16 x$	+	$7$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$7 x$	+	$7$
							-	$7 x$	-	$7$

Этап 3.5.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$8 x^{2}$	+	$16 x$	+	$7$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$7 x$	+	$7$
							-	$7 x$	-	$7$
										$0$

Этап 3.5.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$8 x^{2} + 16 x + 7$

Этап 3.5.6

Запишем $8 x^{3} + 24 x^{2} + 23 x + 7$ в виде набора множителей.

$(x + 1) (8 x^{2} + 16 x + 7) = 0$

Этап 3.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$8 x^{2} + 16 x + 7 = 0$

Этап 3.7

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 3.7.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 3.8

Приравняем $8 x^{2} + 16 x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $8 x^{2} + 16 x + 7$ к $0$ .

$8 x^{2} + 16 x + 7 = 0$

Этап 3.8.2

Решим $8 x^{2} + 16 x + 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.8.2.2

Подставим значения $a = 8$ , $b = 16$ и $c = 7$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 7)}}{2 \cdot 8}$

Этап 3.8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1.1

Возведем $16$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 8 \cdot 7}}{2 \cdot 8}$

Этап 3.8.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 8 \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $8$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 32 \cdot 7}}{2 \cdot 8}$

Этап 3.8.2.3.1.2.2

Умножим $- 32$ на $7$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 8}$

Этап 3.8.2.3.1.3

Вычтем $224$ из $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 8}$

Этап 3.8.2.3.1.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 8}$

Этап 3.8.2.3.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 8}$

Этап 3.8.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 8}$

Этап 3.8.2.3.2

Умножим $2$ на $8$ .

$x = \frac{- 16 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$

Этап 3.8.2.3.3

Упростим $\frac{- 16 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2}}{4}$

Этап 3.8.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{4 - \sqrt{2}}{4}, - \frac{4 + \sqrt{2}}{4}$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (8 x^{2} + 16 x + 7) = 0$ верно.

$x = - 1, - \frac{4 - \sqrt{2}}{4}, - \frac{4 + \sqrt{2}}{4}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - 1, - \frac{4 - \sqrt{2}}{4}, - \frac{4 + \sqrt{2}}{4}$

Десятичная форма:

$x = - 1, - 0.64644660 \dots, - 1.35355339 \dots$