Алгебра Примеры

$y = \frac{2 x - 5}{3 x}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{2 y - 5}{3 y}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{2 y - 5}{3 y} = x$ .

$\frac{2 y - 5}{3 y} = x$

Этап 2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3 y, 1$

Этап 2.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$3 y$

Этап 2.3

Каждый член в $\frac{2 y - 5}{3 y} = x$ умножим на $3 y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый член $\frac{2 y - 5}{3 y} = x$ на $3 y$ .

$\frac{2 y - 5}{3 y} (3 y) = x (3 y)$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{2 y - 5}{3 y} y = x (3 y)$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 y$ .

$3 \frac{2 y - 5}{3 (y)} y = x (3 y)$

Этап 2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{2 y - 5}{3 y} y = x (3 y)$

Этап 2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 y - 5}{y} y = x (3 y)$

Этап 2.3.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y - 5}{y} y = x (3 y)$

Этап 2.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$2 y - 5 = x (3 y)$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 y - 5 = 3 x y$

Этап 2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вычтем $3 x y$ из обеих частей уравнения.

$2 y - 5 - 3 x y = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 y - 3 x y = 5$

Этап 2.4.3

Вынесем множитель $y$ из $2 y - 3 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y$ .

$y \cdot 2 - 3 x y = 5$

Этап 2.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- 3 x y$ .

$y \cdot 2 + y (- 3 x) = 5$

Этап 2.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 2 + y (- 3 x)$ .

$y (2 - 3 x) = 5$

Этап 2.4.4

Разделим каждый член $y (2 - 3 x) = 5$ на $2 - 3 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Разделим каждый член $y (2 - 3 x) = 5$ на $2 - 3 x$ .

$\frac{y (2 - 3 x)}{2 - 3 x} = \frac{5}{2 - 3 x}$

Этап 2.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.1

Сократим общий множитель $2 - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (2 - 3 x)}{2 - 3 x} = \frac{5}{2 - 3 x}$

Этап 2.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{5}{2 - 3 x}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5}{2 - 3 x}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{5}{2 - 3 x}$ обратной к $f (x) = \frac{2 x - 5}{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{2 x - 5}{3 x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 5}{3 x}) = \frac{5}{2 - 3 \frac{2 x - 5}{3 x}}$

Этап 4.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 5}{3 x}) = \frac{5}{2 + 3 (- 1) (\frac{2 x - 5}{3 x})}$

Этап 4.2.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 5}{3 x}) = \frac{5}{2 + 3 (- 1) (\frac{2 x - 5}{3 (x)})}$

Этап 4.2.3.1.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 5}{3 x}) = \frac{5}{2 + 3 \cdot (- 1 \frac{2 x - 5}{3 x})}$

Этап 4.2.3.1.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 5}{3 x}) = \frac{5}{2 - 1 \frac{2 x - 5}{x}}$

Этап 4.2.3.2

Перепишем $- 1 \frac{2 x - 5}{x}$ в виде $- \frac{2 x - 5}{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 5}{3 x}) = \frac{5}{2 - \frac{2 x - 5}{x}}$

Этап 4.2.3.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 5}{3 x}) = \frac{5}{\frac{2 x}{x} - \frac{2 x - 5}{x}}$

Этап 4.2.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 5}{3 x}) = \frac{5}{\frac{2 x - (2 x - 5)}{x}}$

Этап 4.2.3.5

Перепишем $\frac{2 x - (2 x - 5)}{x}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 5}{3 x}) = \frac{5}{\frac{2 x - (2 x) + 5}{x}}$

Этап 4.2.3.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 5}{3 x}) = \frac{5}{\frac{2 x - 2 x + 5}{x}}$

Этап 4.2.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 5}{3 x}) = \frac{5}{\frac{2 x - 2 x + 5}{x}}$

Этап 4.2.3.5.4

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 5}{3 x}) = \frac{5}{\frac{0 + 5}{x}}$

Этап 4.2.3.5.5

Добавим $0$ и $5$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 5}{3 x}) = \frac{5}{\frac{5}{x}}$

Этап 4.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 5}{3 x}) = 5 (\frac{x}{5})$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 5}{3 x}) = 5 (\frac{x}{5})$

Этап 4.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 5}{3 x}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{5}{2 - 3 x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5}{2 - 3 x}) - 5}{3 (\frac{5}{2 - 3 x})}$

Этап 4.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $2 \frac{5}{2 - 3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Объединим $2$ и $\frac{5}{2 - 3 x}$ .

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = \frac{\frac{2 \cdot 5}{2 - 3 x} - 5}{3 (\frac{5}{2 - 3 x})}$

Этап 4.3.3.1.2

Умножим $2$ на $5$ .

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = \frac{\frac{10}{2 - 3 x} - 5}{3 (\frac{5}{2 - 3 x})}$

Этап 4.3.3.2

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 - 3 x}{2 - 3 x}$ .

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = \frac{\frac{10}{2 - 3 x} - 5 \cdot \frac{2 - 3 x}{2 - 3 x}}{3 (\frac{5}{2 - 3 x})}$

Этап 4.3.3.3

Объединим $- 5$ и $\frac{2 - 3 x}{2 - 3 x}$ .

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = \frac{\frac{10}{2 - 3 x} + \frac{- 5 (2 - 3 x)}{2 - 3 x}}{3 (\frac{5}{2 - 3 x})}$

Этап 4.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = \frac{\frac{10 - 5 (2 - 3 x)}{2 - 3 x}}{3 (\frac{5}{2 - 3 x})}$

Этап 4.3.3.5

Изменим порядок членов.

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = \frac{\frac{10 - 5 (2 - 3 x)}{- 3 x + 2}}{3 (\frac{5}{2 - 3 x})}$

Этап 4.3.3.6

Перепишем $\frac{10 - 5 (2 - 3 x)}{- 3 x + 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.6.1

Вынесем множитель $5$ из $10 - 5 (2 - 3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.6.1.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = \frac{\frac{5 (2) - 5 (2 - 3 x)}{- 3 x + 2}}{3 (\frac{5}{2 - 3 x})}$

Этап 4.3.3.6.1.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5 (2 - 3 x)$ .

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = \frac{\frac{5 (2) + 5 (- (2 - 3 x))}{- 3 x + 2}}{3 (\frac{5}{2 - 3 x})}$

Этап 4.3.3.6.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (2) + 5 (- (2 - 3 x))$ .

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = \frac{\frac{5 (2 - (2 - 3 x))}{- 3 x + 2}}{3 (\frac{5}{2 - 3 x})}$

Этап 4.3.3.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = \frac{\frac{5 (2 - 1 \cdot 2 - (- 3 x))}{- 3 x + 2}}{3 (\frac{5}{2 - 3 x})}$

Этап 4.3.3.6.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = \frac{\frac{5 (2 - 2 - (- 3 x))}{- 3 x + 2}}{3 (\frac{5}{2 - 3 x})}$

Этап 4.3.3.6.4

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = \frac{\frac{5 (2 - 2 + 3 x)}{- 3 x + 2}}{3 (\frac{5}{2 - 3 x})}$

Этап 4.3.3.6.5

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = \frac{\frac{5 (0 + 3 x)}{- 3 x + 2}}{3 (\frac{5}{2 - 3 x})}$

Этап 4.3.3.6.6

Добавим $0$ и $3 x$ .

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = \frac{\frac{5 \cdot (3 x)}{- 3 x + 2}}{3 (\frac{5}{2 - 3 x})}$

Этап 4.3.3.6.7

Умножим $5$ на $3$ .

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = \frac{\frac{15 x}{- 3 x + 2}}{3 (\frac{5}{2 - 3 x})}$

Этап 4.3.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Объединим $3$ и $\frac{5}{2 - 3 x}$ .

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = \frac{\frac{15 x}{- 3 x + 2}}{\frac{3 \cdot 5}{2 - 3 x}}$

Этап 4.3.4.2

Умножим $3$ на $5$ .

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = \frac{\frac{15 x}{- 3 x + 2}}{\frac{15}{2 - 3 x}}$

Этап 4.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = \frac{15 x}{- 3 x + 2} \cdot \frac{2 - 3 x}{15}$

Этап 4.3.6

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Вынесем множитель $15$ из $15 x$ .

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = \frac{15 (x)}{- 3 x + 2} \cdot \frac{2 - 3 x}{15}$

Этап 4.3.6.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = \frac{15 x}{- 3 x + 2} \cdot \frac{2 - 3 x}{15}$

Этап 4.3.6.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = \frac{x}{- 3 x + 2} \cdot (2 - 3 x)$

Этап 4.3.7

Умножим $\frac{x}{- 3 x + 2}$ на $2 - 3 x$ .

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = \frac{x (2 - 3 x)}{- 3 x + 2}$

Этап 4.3.8

Сократим общий множитель $2 - 3 x$ и $- 3 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Изменим порядок членов.

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = \frac{x (- 3 x + 2)}{- 3 x + 2}$

Этап 4.3.8.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = \frac{x (- 3 x + 2)}{- 3 x + 2}$

Этап 4.3.8.3

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{5}{2 - 3 x}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{5}{2 - 3 x}$ — обратная к $f (x) = \frac{2 x - 5}{3 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5}{2 - 3 x}$