Алгебра Примеры

$\frac{2 x - 1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Этап 1

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим $\frac{2 x - 1}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Разобьем дробь $\frac{2 x - 1}{x + 1}$ на две дроби.

$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Этап 1.1.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Этап 1.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем дробь $\frac{x + 1}{x - 1}$ на две дроби.

$\frac{2 x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Этап 1.3

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычтем $\frac{x}{x - 1}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{2 x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} - \frac{x}{x - 1} = \frac{1}{x - 1}$

Этап 1.3.2

Вычтем $\frac{1}{x - 1}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{2 x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} - \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} = 0$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 1, x + 1, x - 1, x - 1, 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $x + 1, x + 1, x - 1, x - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 1) (x - 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{2 x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} - \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} = 0$ умножим на $(x + 1) (x - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{2 x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} - \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} = 0$ на $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 x}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 x (x - 1) - \frac{1}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - \frac{1}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - \frac{1}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - \frac{1}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 x^{2} - 2 x - \frac{1}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x + 1}$ в числитель.

$2 x^{2} - 2 x + \frac{- 1}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} - 2 x + \frac{- 1}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} - 2 x - (x - 1) - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 2 x - x - - 1 - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 x^{2} - 2 x - x + 1 - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.8

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{x - 1}$ в числитель.

$2 x^{2} - 2 x - x + 1 + \frac{- x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.8.2

Вынесем множитель $x - 1$ из $(x + 1) (x - 1)$ .

$2 x^{2} - 2 x - x + 1 + \frac{- x}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.8.3

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} - 2 x - x + 1 + \frac{- x}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.8.4

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} - 2 x - x + 1 - x (x + 1) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 2 x - x + 1 - x \cdot x - x \cdot 1 - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.10

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.10.1

Перенесем $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - x + 1 - (x \cdot x) - x \cdot 1 - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.10.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - x + 1 - x^{2} - x \cdot 1 - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 x^{2} - 2 x - x + 1 - x^{2} - x - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.12

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.12.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x - 1}$ в числитель.

$2 x^{2} - 2 x - x + 1 - x^{2} - x + \frac{- 1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.12.2

Вынесем множитель $x - 1$ из $(x + 1) (x - 1)$ .

$2 x^{2} - 2 x - x + 1 - x^{2} - x + \frac{- 1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.12.3

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} - 2 x - x + 1 - x^{2} - x + \frac{- 1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.12.4

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} - 2 x - x + 1 - x^{2} - x - (x + 1) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.13

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 2 x - x + 1 - x^{2} - x - x - 1 \cdot 1 = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.14

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 x^{2} - 2 x - x + 1 - x^{2} - x - x - 1 = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Объединим противоположные члены в $2 x^{2} - 2 x - x + 1 - x^{2} - x - x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$2 x^{2} - 2 x - x - x^{2} - x - x + 0 = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $2 x^{2} - 2 x - x - x^{2} - x - x$ и $0$ .

$2 x^{2} - 2 x - x - x^{2} - x - x = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 2 x - x - x - x = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.2.3

Вычтем $x$ из $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x - x - x = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.2.4

Вычтем $x$ из $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 x - x = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.2.5

Вычтем $x$ из $- 4 x$ .

$x^{2} - 5 x = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 5 x = 0 (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 5 x = 0 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 5 x = 0 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Этап 3.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - 5 x = 0 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Этап 3.3.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x^{2} - 5 x = 0 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Этап 3.3.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - 5 x = 0 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Этап 3.3.2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} - 5 x = 0 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Этап 3.3.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x^{2} - 5 x = 0 (x^{2} - x + x - 1)$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$x^{2} - 5 x = 0 (x^{2} + 0 - 1)$

Этап 3.3.2.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$x^{2} - 5 x = 0 (x^{2} - 1)$

Этап 3.3.3

Умножим $0$ на $x^{2} - 1$ .

$x^{2} - 5 x = 0$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - 5 x = 0$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 0$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$x (x - 5) = 0$

Этап 4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 4.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.4

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 4.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 5) = 0$ верно.

$x = 0, 5$