Алгебра Примеры

$6 x {(3 x - 1)}^{2} + 2 x^{2} {(1 - 3 x)}^{2}$

Этап 1

Вынесем множитель $2 x$ из $6 x {(3 x - 1)}^{2} + 2 x^{2} {(1 - 3 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $6 x {(3 x - 1)}^{2}$ .

$2 x (3 {(3 x - 1)}^{2}) + 2 x^{2} {(1 - 3 x)}^{2}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{2} {(1 - 3 x)}^{2}$ .

$2 x (3 {(3 x - 1)}^{2}) + 2 x (x {(1 - 3 x)}^{2})$

Этап 1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (3 {(3 x - 1)}^{2}) + 2 x (x {(1 - 3 x)}^{2})$ .

$2 x (3 {(3 x - 1)}^{2} + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Этап 2

Перепишем ${(3 x - 1)}^{2}$ в виде $(3 x - 1) (3 x - 1)$ .

$2 x (3 ((3 x - 1) (3 x - 1)) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Этап 3

Развернем $(3 x - 1) (3 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (3 (3 x (3 x - 1) - 1 (3 x - 1)) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (3 (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x - 1)) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (3 (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Этап 4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x (3 (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Этап 4.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Перенесем $x$ .

$2 x (3 (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Этап 4.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x (3 (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Этап 4.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$2 x (3 (9 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Этап 4.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$2 x (3 (9 x^{2} - 3 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Этап 4.1.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 x (3 (9 x^{2} - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Этап 4.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 x (3 (9 x^{2} - 3 x - 3 x + 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Этап 4.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$2 x (3 (9 x^{2} - 6 x + 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Этап 5

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (3 (9 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 1 + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $9$ на $3$ .

$2 x (27 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 1 + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Этап 6.2

Умножим $- 6$ на $3$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 \cdot 1 + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Этап 6.3

Умножим $3$ на $1$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Этап 7

Перепишем ${(1 - 3 x)}^{2}$ в виде $(1 - 3 x) (1 - 3 x)$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x ((1 - 3 x) (1 - 3 x)))$

Этап 8

Развернем $(1 - 3 x) (1 - 3 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 (1 - 3 x) - 3 x (1 - 3 x)))$

Этап 8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 \cdot 1 + 1 (- 3 x) - 3 x (1 - 3 x)))$

Этап 8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 \cdot 1 + 1 (- 3 x) - 3 x \cdot 1 - 3 x (- 3 x)))$

Этап 9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 + 1 (- 3 x) - 3 x \cdot 1 - 3 x (- 3 x)))$

Этап 9.1.2

Умножим $- 3 x$ на $1$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 - 3 x - 3 x \cdot 1 - 3 x (- 3 x)))$

Этап 9.1.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 - 3 x - 3 x - 3 x (- 3 x)))$

Этап 9.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 - 3 x - 3 x - 3 \cdot - 3 x \cdot x))$

Этап 9.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.1

Перенесем $x$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 - 3 x - 3 x - 3 \cdot - 3 (x \cdot x)))$

Этап 9.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 - 3 x - 3 x - 3 \cdot - 3 x^{2}))$

Этап 9.1.6

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 - 3 x - 3 x + 9 x^{2}))$

Этап 9.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 - 6 x + 9 x^{2}))$

Этап 10

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x \cdot 1 + x (- 6 x) + x (9 x^{2}))$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $x$ на $1$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x + x (- 6 x) + x (9 x^{2}))$

Этап 11.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x - 6 x \cdot x + x (9 x^{2}))$

Этап 11.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x - 6 x \cdot x + 9 x \cdot x^{2})$

Этап 12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем $x$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x - 6 (x \cdot x) + 9 x \cdot x^{2})$

Этап 12.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x - 6 x^{2} + 9 x \cdot x^{2})$

Этап 12.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x - 6 x^{2} + 9 (x^{2} x))$

Этап 12.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x - 6 x^{2} + 9 (x^{2} x^{1}))$

Этап 12.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x - 6 x^{2} + 9 x^{2 + 1})$

Этап 12.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x - 6 x^{2} + 9 x^{3})$

Этап 13

Вычтем $6 x^{2}$ из $27 x^{2}$ .

$2 x (21 x^{2} - 18 x + 3 + x + 9 x^{3})$

Этап 14

Добавим $- 18 x$ и $x$ .

$2 x (21 x^{2} - 17 x + 3 + 9 x^{3})$

Этап 15

Изменим порядок членов.

$2 x (9 x^{3} + 21 x^{2} - 17 x + 3)$

Этап 16

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Перепишем $9 x^{3} + 21 x^{2} - 17 x + 3$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Разложим $9 x^{3} + 21 x^{2} - 17 x + 3$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

Этап 16.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{1}, \pm 0.\overline{3}, \pm 3$

Этап 16.1.1.3

Подставим $0.\overline{3}$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.\overline{3}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1.3.1

Подставим $0.\overline{3}$ в многочлен.

$9 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 21 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 3$

Этап 16.1.1.3.2

Возведем $0.\overline{3}$ в степень $3$ .

$9 \cdot 0.\overline{037} + 21 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 3$

Этап 16.1.1.3.3

Умножим $9$ на $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{3} + 21 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 3$

Этап 16.1.1.3.4

Возведем $0.\overline{3}$ в степень $2$ .

$0.\overline{3} + 21 \cdot 0.\overline{1} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 3$

Этап 16.1.1.3.5

Умножим $21$ на $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{3} + 2.\overline{3} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 3$

Этап 16.1.1.3.6

Добавим $0.\overline{3}$ и $2.\overline{3}$ .

$2.\overline{6} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 3$

Этап 16.1.1.3.7

Умножим $- 17$ на $0.\overline{3}$ .

$2.\overline{6} - 5.\overline{6} + 3$

Этап 16.1.1.3.8

Вычтем $5.\overline{6}$ из $2.\overline{6}$ .

$- 3 + 3$

Этап 16.1.1.3.9

Добавим $- 3$ и $3$ .

$0$

Этап 16.1.1.4

Поскольку $0.\overline{3}$ — известный корень, разделим многочлен на $3 x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{9 x^{3} + 21 x^{2} - 17 x + 3}{3 x - 1}$

Этап 16.1.1.5

Разделим $9 x^{3} + 21 x^{2} - 17 x + 3$ на $3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 x$

$1$

$9 x^{3}$

$21 x^{2}$

$17 x$

$3$

Этап 16.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $9 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

					$3 x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$

Этап 16.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			+	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 16.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $9 x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$3 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 16.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$

Этап 16.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$

Этап 16.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $24 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$8 x$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$

Этап 16.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$	+	$8 x$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 16.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $24 x^{2} - 8 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$8 x$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$8 x$

Этап 16.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$	+	$8 x$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$9 x$

Этап 16.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x^{2}$	+	$8 x$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$9 x$	+	$3$

Этап 16.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 9 x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$3$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$9 x$	+	$3$

Этап 16.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$3$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$9 x$	+	$3$
							-	$9 x$	+	$3$

Этап 16.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 9 x + 3$ .

				$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$3$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$9 x$	+	$3$
							+	$9 x$	-	$3$

Этап 16.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$3$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$9 x$	+	$3$
							+	$9 x$	-	$3$
										$0$

Этап 16.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$3 x^{2} + 8 x - 3$

Этап 16.1.1.6

Запишем $9 x^{3} + 21 x^{2} - 17 x + 3$ в виде набора множителей.

$2 x ((3 x - 1) (3 x^{2} + 8 x - 3))$

Этап 16.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ , а сумма — $b = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$2 x ((3 x - 1) (3 x^{2} + 8 (x) - 3))$

Этап 16.1.2.1.1.2

Запишем $8$ как $- 1$ плюс $9$

$2 x ((3 x - 1) (3 x^{2} + (- 1 + 9) x - 3))$

Этап 16.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x ((3 x - 1) (3 x^{2} - 1 x + 9 x - 3))$

Этап 16.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 x ((3 x - 1) ((3 x^{2} - 1 x) + 9 x - 3))$

Этап 16.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 x ((3 x - 1) (x (3 x - 1) + 3 (3 x - 1)))$

Этап 16.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 1$ .

$2 x ((3 x - 1) ((3 x - 1) (x + 3)))$

Этап 16.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x ((3 x - 1) (3 x - 1) (x + 3))$

Этап 16.1.3

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.3.1

Возведем $3 x - 1$ в степень $1$ .

$2 x ({(3 x - 1)}^{1} (3 x - 1) (x + 3))$

Этап 16.1.3.2

Возведем $3 x - 1$ в степень $1$ .

$2 x ({(3 x - 1)}^{1} {(3 x - 1)}^{1} (x + 3))$

Этап 16.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x ({(3 x - 1)}^{1 + 1} (x + 3))$

Этап 16.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x ({(3 x - 1)}^{2} (x + 3))$

Этап 16.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x {(3 x - 1)}^{2} (x + 3)$