Алгебра Примеры

${(\frac{2}{3})}^{5 x + 2} = {(\frac{3}{2})}^{2 x}$

Этап 1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln ({(\frac{2}{3})}^{5 x + 2}) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{2 x})$

Этап 2

Развернем $\ln ({(\frac{2}{3})}^{5 x + 2})$ , вынося $5 x + 2$ из логарифма.

$(5 x + 2) \ln (\frac{2}{3}) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{2 x})$

Этап 3

Перепишем $\ln (\frac{2}{3})$ в виде $\ln (2) - \ln (3)$ .

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{2 x})$

Этап 4

Развернем $\ln ({(\frac{3}{2})}^{2 x})$ , вынося $2 x$ из логарифма.

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x \ln (\frac{3}{2})$

Этап 5

Перепишем $\ln (\frac{3}{2})$ в виде $\ln (3) - \ln (2)$ .

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Этап 6

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Этап 6.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Этап 6.1.3

Развернем $(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x (\ln (2) - \ln (3)) + 2 (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Этап 6.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x \ln (2) + 5 x (- \ln (3)) + 2 (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Этап 6.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x \ln (2) + 5 x (- \ln (3)) + 2 \ln (2) + 2 (- \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Этап 6.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x \ln (2) + 5 \cdot - 1 x \ln (3) + 2 \ln (2) + 2 (- \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Этап 6.1.4.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) + 2 (- \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Этап 6.1.4.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Этап 6.2

Упростим $2 x (\ln (3) - \ln (2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = 2 x \ln (3) + 2 x (- \ln (2))$

Этап 6.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = 2 x \ln (3) + 2 \cdot - 1 x \ln (2)$

Этап 6.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = 2 x \ln (3) - 2 x \ln (2)$

Этап 6.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вычтем $2 x \ln (3)$ из обеих частей уравнения.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) - 2 x \ln (3) = - 2 x \ln (2)$

Этап 6.3.2

Добавим $2 x \ln (2)$ к обеим частям уравнения.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) - 2 x \ln (3) + 2 x \ln (2) = 0$

Этап 6.3.3

Добавим $5 x \ln (2)$ и $2 x \ln (2)$ .

$- 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) - 2 x \ln (3) + 7 x \ln (2) = 0$

Этап 6.3.4

Вычтем $2 x \ln (3)$ из $- 5 x \ln (3)$ .

$2 \ln (2) - 2 \ln (3) - 7 x \ln (3) + 7 x \ln (2) = 0$

Этап 6.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вычтем $2 \ln (2)$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \ln (3) - 7 x \ln (3) + 7 x \ln (2) = - 2 \ln (2)$

Этап 6.4.2

Добавим $2 \ln (3)$ к обеим частям уравнения.

$- 7 x \ln (3) + 7 x \ln (2) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Этап 6.5

Вынесем множитель $7 x$ из $- 7 x \ln (3) + 7 x \ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $7 x$ из $- 7 x \ln (3)$ .

$7 x (- 1 \ln (3)) + 7 x \ln (2) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Этап 6.5.2

Вынесем множитель $7 x$ из $7 x \ln (2)$ .

$7 x (- 1 \ln (3)) + 7 x \ln (2) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Этап 6.5.3

Вынесем множитель $7 x$ из $7 x (- 1 \ln (3)) + 7 x \ln (2)$ .

$7 x (- 1 \ln (3) + \ln (2)) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Этап 6.6

Перепишем $- 1 \ln (3)$ в виде $- \ln (3)$ .

$7 x (- \ln (3) + \ln (2)) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Этап 6.7

Разделим каждый член $7 x (- \ln (3) + \ln (2)) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$ на $7 (- \ln (3) + \ln (2))$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Разделим каждый член $7 x (- \ln (3) + \ln (2)) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$ на $7 (- \ln (3) + \ln (2))$ .

$\frac{7 x (- \ln (3) + \ln (2))}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Этап 6.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x (- \ln (3) + \ln (2))}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Этап 6.7.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (2))}{- \ln (3) + \ln (2)} = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Этап 6.7.2.2

Сократим общий множитель $- \ln (3) + \ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (2))}{- \ln (3) + \ln (2)} = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Этап 6.7.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Этап 6.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Десятичная форма:

$x = - 0.\overline{285714}$