Алгебра Примеры

$f (x) = 3^{x}$ и $g (x) = \log_{3} (x)$

Этап 1

Экспоненциальные функции имеют горизонтальную асимптоту. Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид $y = 0$ .

Горизонтальная асимптота: $y = 0$

Этап 2

Построим график $g (x) = \log_{3} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Приравняем аргумент логарифма к нулю.

$x = 0$

Этап 2.1.2

Вертикальная асимптота возникает в $x = 0$ .

Вертикальная асимптота: $x = 0$

Этап 2.2

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \log_{3} (1)$

Этап 2.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Логарифм $1$ по основанию $3$ равен $0$ .

$f (1) = 0$

Этап 2.2.2.2

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.2.3

Преобразуем $0$ в десятичное представление.

$y = 0$

Этап 2.3

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \log_{3} (3)$

Этап 2.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Логарифм $3$ по основанию $3$ равен $1$ .

$f (3) = 1$

Этап 2.3.2.2

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 2.3.3

Преобразуем $1$ в десятичное представление.

$y = 1$

Этап 2.4

Найдем точку в $x = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $9$ .

$f (9) = \log_{3} (9)$

Этап 2.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Логарифм $9$ по основанию $3$ равен $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Запишем как уравнение.

$\log_{3} (9) = x$

Этап 2.4.2.1.2

Перепишем $\log_{3} (9) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ положительные вещественные числа, и $b$ не равно $1$ , то равенство $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$3^{x} = 9$

Этап 2.4.2.1.3

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$3^{x} = 3^{2}$

Этап 2.4.2.1.4

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 2$

Этап 2.4.2.1.5

Переменная $x$ равна $2$ .

$f (9) = 2$

Этап 2.4.2.2

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 2.4.3

Преобразуем $2$ в десятичное представление.

$y = 2$

Этап 2.5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 0$ и точек $(1, 0), (3, 1), (9, 2)$ .

Вертикальная асимптота: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 3 & 1 \\ 9 & 2 \end{array}$

Вертикальная асимптота: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 3 & 1 \\ 9 & 2 \end{array}$

Этап 3

Построим каждый график в одной системе координат.

$f (x) = 3^{x}$

$g (x) = \log_{3} (x)$

Этап 4