Алгебра Примеры

$\sqrt{1 - x} < \sqrt{2 x + 6}$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{1 - x}}^{2} < {\sqrt{2 x + 6}}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - x}$ в виде ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt{2 x + 6}}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{2 x + 6}}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{2 x + 6}}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 - x)}^{1} < {\sqrt{2 x + 6}}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$1 - x < {\sqrt{2 x + 6}}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${\sqrt{2 x + 6}}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$1 - x < {\sqrt{2 (x) + 6}}^{2}$

Этап 2.3.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$1 - x < {\sqrt{2 x + 2 \cdot 3}}^{2}$

Этап 2.3.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot 3$ .

$1 - x < {\sqrt{2 (x + 3)}}^{2}$

Этап 2.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{2 (x + 3)}}^{2}$ в виде $2 (x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 (x + 3)}$ в виде ${(2 (x + 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - x < {({(2 (x + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - x < {(2 (x + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$1 - x < {(2 (x + 3))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$1 - x < {(2 (x + 3))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$1 - x < {(2 (x + 3))}^{1}$

Этап 2.3.1.2.5

Упростим.

$1 - x < 2 (x + 3)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - x < 2 x + 2 \cdot 3$

Этап 2.3.1.4

Умножим $2$ на $3$ .

$1 - x < 2 x + 6$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей неравенства.

$1 - x - 2 x < 6$

Этап 3.1.2

Вычтем $2 x$ из $- x$ .

$1 - 3 x < 6$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- 3 x < 6 - 1$

Этап 3.2.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$- 3 x < 5$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- 3 x < 5$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- 3 x < 5$ на $- 3$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 3 x}{- 3} > \frac{5}{- 3}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x}{- 3} > \frac{5}{- 3}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{5}{- 3}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x > - \frac{5}{3}$

Этап 4

Найдем область определения $\sqrt{1 - x} - \sqrt{2 (x + 3)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{1 - x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$1 - x \geq 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 1$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $- x \geq - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $- x \geq - 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x \leq 1$

Этап 4.3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 (x + 3)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 (x + 3) \geq 0$

Этап 4.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Разделим каждый член $2 (x + 3) \geq 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Разделим каждый член $2 (x + 3) \geq 0$ на $2$ .

$\frac{2 (x + 3)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.4.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x + 3)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.4.1.2.1.2

Разделим $x + 3$ на $1$ .

$x + 3 \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.4.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x + 3 \geq 0$

Этап 4.4.2

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 3$

Этап 4.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 3, 1]$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < - \frac{5}{3}$

$- \frac{5}{3} < x < 1$

$x > 1$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{1 - (- 6)} < \sqrt{2 (- 6) + 6}$

Этап 6.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < - \frac{5}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < - \frac{5}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{1 - (- 2)} < \sqrt{2 (- 2) + 6}$

Этап 6.2.3

Левая часть $1.7320508$ не меньше правой части $1.41421356$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $- \frac{5}{3} < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $- \frac{5}{3} < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{1 - (0)} < \sqrt{2 (0) + 6}$

Этап 6.3.3

Левая часть $1$ меньше правой части $2.44948974$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.4

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 6.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{1 - (4)} < \sqrt{2 (4) + 6}$

Этап 6.4.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < - \frac{5}{3}$ Ложь

$- \frac{5}{3} < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < - \frac{5}{3}$ Ложь

$- \frac{5}{3} < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{5}{3} < x < 1$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- \frac{5}{3} < x < 1$

Интервальное представление:

$(- \frac{5}{3}, 1)$

Этап 9