Алгебра Примеры

$\frac{x}{x - 2} < 3 - \frac{2}{x - 2}$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x}{x - 2} - 3 < - \frac{2}{x - 2}$

Этап 1.2

Добавим $\frac{2}{x - 2}$ к обеим частям неравенства.

$\frac{x}{x - 2} - 3 + \frac{2}{x - 2} < 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x}{x - 2} - 3 + \frac{2}{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Запишем $- 3$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{x}{x - 2} + \frac{- 3}{1} + \frac{2}{x - 2} < 0$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{- 3}{1}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{x - 2} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{2}{x - 2} < 0$

Этап 2.1.3

Умножим $\frac{- 3}{1}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{x - 2} + \frac{- 3 (x - 2)}{x - 2} + \frac{2}{x - 2} < 0$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 3 (x - 2) + 2}{x - 2} < 0$

Этап 2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 3 x - 3 \cdot - 2 + 2}{x - 2} < 0$

Этап 2.3.2

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$\frac{x - 3 x + 6 + 2}{x - 2} < 0$

Этап 2.4

Вычтем $3 x$ из $x$ .

$\frac{- 2 x + 6 + 2}{x - 2} < 0$

Этап 2.5

Добавим $6$ и $2$ .

$\frac{- 2 x + 8}{x - 2} < 0$

Этап 2.6

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 8}{x - 2} < 0$

Этап 2.6.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (4)}{x - 2} < 0$

Этап 2.6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- x + 4)}{x - 2} < 0$

Этап 2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 4)}{x - 2} < 0$

Этап 2.8

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 4))}{x - 2} < 0$

Этап 2.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x - 4))}{x - 2} < 0$

Этап 2.10

Перепишем $- (x - 4)$ в виде $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 4))}{x - 2} < 0$

Этап 2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 (x - 4)}{x - 2} < 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 4

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 5

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 4$

$x = 2$

Этап 7

Объединим решения.

$x = 4, 2$

Этап 8

Найдем область определения $- \frac{2 (x - 4)}{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 (x - 4)}{x - 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 2 = 0$

Этап 8.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{0}{(0) - 2} < 3 - \frac{2}{(0) - 2}$

Этап 10.1.3

Левая часть $0$ меньше правой части $4$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{3}{(3) - 2} < 3 - \frac{2}{(3) - 2}$

Этап 10.2.3

Левая часть $3$ не меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{6}{(6) - 2} < 3 - \frac{2}{(6) - 2}$

Этап 10.3.3

Левая часть $1.5$ меньше правой части $2.5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 2$ Истина

$2 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

$x < 2$ Истина

$2 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 2$ или $x > 4$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < 2 or x > 4$

Интервальное представление:

$(- \infty, 2) \cup (4, \infty)$

Этап 13