Алгебра Примеры

$f (x) = x^{6} - 13 x^{4} - 52 x^{2} + 64$

Этап 1

Разложим $x^{6} - 13 x^{4} - 52 x^{2} + 64$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

$q = \pm 1$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

Этап 1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{6} - 13 {(- 1)}^{4} - 52 {(- 1)}^{2} + 64$

Этап 1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$1 - 13 {(- 1)}^{4} - 52 {(- 1)}^{2} + 64$

Этап 1.3.3

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$1 - 13 \cdot 1 - 52 {(- 1)}^{2} + 64$

Этап 1.3.4

Умножим $- 13$ на $1$ .

$1 - 13 - 52 {(- 1)}^{2} + 64$

Этап 1.3.5

Вычтем $13$ из $1$ .

$- 12 - 52 {(- 1)}^{2} + 64$

Этап 1.3.6

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 12 - 52 \cdot 1 + 64$

Этап 1.3.7

Умножим $- 52$ на $1$ .

$- 12 - 52 + 64$

Этап 1.3.8

Вычтем $52$ из $- 12$ .

$- 64 + 64$

Этап 1.3.9

Добавим $- 64$ и $64$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{6} - 13 x^{4} - 52 x^{2} + 64}{x + 1}$

Этап 1.5

Разделим $x^{6} - 13 x^{4} - 52 x^{2} + 64$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{6}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{6} + x^{5}$ .

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{5} - x^{4}$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 12 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 12 x^{4} - 12 x^{3}$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

Этап 1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

Этап 1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $12 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

Этап 1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

Этап 1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $12 x^{3} + 12 x^{2}$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

Этап 1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

Этап 1.5.21

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

Этап 1.5.22

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 64 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

Этап 1.5.23

Умножим новое частное на делитель.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

$64 x^{2}$

$64 x$

Этап 1.5.24

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 64 x^{2} - 64 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

$64 x^{2}$

$64 x$

Этап 1.5.25

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

$64 x^{2}$

$64 x$

Этап 1.5.26

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

$64 x^{2}$

$64 x$

$64$

Этап 1.5.27

Разделим член с максимальной степенью в делимом $64 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$64$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

$64 x^{2}$

$64 x$

$64$

Этап 1.5.28

Умножим новое частное на делитель.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$64$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

$64 x^{2}$

$64 x$

$64$

$64 x$

$64$

Этап 1.5.29

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $64 x + 64$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$64$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

$64 x^{2}$

$64 x$

$64$

$64 x$

$64$

Этап 1.5.30

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$64$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

$64 x^{2}$

$64 x$

$64$

$64 x$

$64$

$0$

Этап 1.5.31

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{5} - x^{4} - 12 x^{3} + 12 x^{2} - 64 x + 64$

Этап 1.6

Запишем $x^{6} - 13 x^{4} - 52 x^{2} + 64$ в виде набора множителей.

$f (x) = (x + 1) (x^{5} - x^{4} - 12 x^{3} + 12 x^{2} - 64 x + 64)$

Этап 2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{5}$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{3} x^{2} - x^{4} - 12 x^{3} + 12 x^{2} - 64 x + 64)$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- x^{4}$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{3} x^{2} + x^{3} (- x) - 12 x^{3} + 12 x^{2} - 64 x + 64)$

Этап 2.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- 12 x^{3}$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{3} x^{2} + x^{3} (- x) + x^{3} \cdot - 12 + 12 x^{2} - 64 x + 64)$

Этап 2.4

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} x^{2} + x^{3} (- x)$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x^{2} - x) + x^{3} \cdot - 12 + 12 x^{2} - 64 x + 64)$

Этап 2.5

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} (x^{2} - x) + x^{3} \cdot - 12$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x^{2} - x - 12) + 12 x^{2} - 64 x + 64)$

Этап 3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим $x^{2} - x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 1$ .

$- 4, 3$

Этап 3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} ((x - 4) (x + 3)) + 12 x^{2} - 64 x + 64)$

Этап 3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 12 x^{2} - 64 x + 64)$

Этап 4

Вынесем множитель $4$ из $12 x^{2} - 64 x + 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $4$ из $12 x^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x^{2}) - 64 x + 64)$

Этап 4.2

Вынесем множитель $4$ из $- 64 x$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 64)$

Этап 4.3

Вынесем множитель $4$ из $64$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 4 (16))$

Этап 4.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (3 x^{2}) + 4 (- 16 x)$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x^{2} - 16 x) + 4 (16))$

Этап 4.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (3 x^{2} - 16 x) + 4 (16)$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x^{2} - 16 x + 16))$

Этап 5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 16 = 48$ , а сумма — $b = - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Вынесем множитель $- 16$ из $- 16 x$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x^{2} - 16 x + 16))$

Этап 5.1.1.2

Запишем $- 16$ как $- 4$ плюс $- 12$

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x^{2} + (- 4 - 12) x + 16))$

Этап 5.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x^{2} - 4 x - 12 x + 16))$

Этап 5.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 ((3 x^{2} - 4 x) - 12 x + 16))$

Этап 5.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (x (3 x - 4) - 4 (3 x - 4)))$

Этап 5.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 4$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 ((3 x - 4) (x - 4)))$

Этап 5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x - 4) (x - 4))$

Этап 6

Вынесем множитель $x - 4$ из $x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x - 4) (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x - 4$ из $x^{3} (x - 4) (x + 3)$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{3} (x + 3)) + 4 (3 x - 4) (x - 4))$

Этап 6.2

Вынесем множитель $x - 4$ из $4 (3 x - 4) (x - 4)$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{3} (x + 3)) + (x - 4) (4 (3 x - 4)))$

Этап 6.3

Вынесем множитель $x - 4$ из $(x - 4) (x^{3} (x + 3)) + (x - 4) (4 (3 x - 4))$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{3} (x + 3) + 4 (3 x - 4)))$

Этап 7

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{3} x + x^{3} \cdot 3 + 4 (3 x - 4)))$

Этап 8

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{3} x + x^{3} \cdot 3 + 4 (3 x - 4)))$

Этап 8.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{3 + 1} + x^{3} \cdot 3 + 4 (3 x - 4)))$

Этап 8.2

Добавим $3$ и $1$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{4} + x^{3} \cdot 3 + 4 (3 x - 4)))$

Этап 9

Перенесем $3$ влево от $x^{3}$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{4} + 3 x^{3} + 4 (3 x - 4)))$

Этап 10

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{4} + 3 x^{3} + 4 (3 x) + 4 \cdot - 4))$

Этап 11

Умножим $3$ на $4$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{4} + 3 x^{3} + 12 x + 4 \cdot - 4))$

Этап 12

Умножим $4$ на $- 4$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{4} + 3 x^{3} + 12 x - 16))$

Этап 13

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перепишем $x^{4} + 3 x^{3} + 12 x - 16$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Перегруппируем члены.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{4} - 16 + 3 x^{3} + 12 x))$

Этап 13.1.1.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ({(x^{2})}^{2} - 16 + 3 x^{3} + 12 x))$

Этап 13.1.1.3

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ({(x^{2})}^{2} - 4^{2} + 3 x^{3} + 12 x))$

Этап 13.1.1.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 4$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x^{2} - 4) + 3 x^{3} + 12 x))$

Этап 13.1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}) + 3 x^{3} + 12 x))$

Этап 13.1.1.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.5.2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) + 3 x^{3} + 12 x))$

Этап 13.1.1.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 3 x^{3} + 12 x))$

Этап 13.1.1.6

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{3} + 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.6.1

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{3}$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 3 x (x^{2}) + 12 x))$

Этап 13.1.1.6.2

Вынесем множитель $3 x$ из $12 x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 3 x (x^{2}) + 3 x (4)))$

Этап 13.1.1.6.3

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (x^{2}) + 3 x (4)$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 3 x (x^{2} + 4)))$

Этап 13.1.1.7

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 3 x (x^{2} + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) + 3 x (x^{2} + 4)))$

Этап 13.1.1.7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из $3 x (x^{2} + 4)$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) + (x^{2} + 4) (3 x)))$

Этап 13.1.1.7.3

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из $(x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) + (x^{2} + 4) (3 x)$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2) + 3 x)))$

Этап 13.1.1.8

Развернем $(x + 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x (x - 2) + 2 (x - 2) + 3 x)))$

Этап 13.1.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) + 3 x)))$

Этап 13.1.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 + 3 x)))$

Этап 13.1.1.9

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.9.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 2$ и $2 x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 + 3 x)))$

Этап 13.1.1.9.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 + 3 x)))$

Этап 13.1.1.9.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x \cdot x + 2 \cdot - 2 + 3 x)))$

Этап 13.1.1.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.10.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x^{2} + 2 \cdot - 2 + 3 x)))$

Этап 13.1.1.10.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x^{2} - 4 + 3 x)))$

Этап 13.1.1.11

Изменим порядок членов.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x^{2} + 3 x - 4)))$

Этап 13.1.1.12

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.12.1

Разложим $x^{2} + 3 x - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.12.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $3$ .

$- 1, 4$

Этап 13.1.1.12.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) ((x - 1) (x + 4))))$

Этап 13.1.1.12.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x - 1) (x + 4)))$

Этап 13.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{2} + 4) (x - 1) (x + 4))$

Этап 13.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = (x + 1) (x - 4) (x^{2} + 4) (x - 1) (x + 4)$