Алгебра Примеры

$\frac{2 a^{2} - 7 a - 15}{3 a^{2} - 8 a - 3} \cdot \frac{9 a^{2} - 1}{4 a^{2} - 9} \div \frac{a^{2} + 3 a - 10}{2 a^{2} - 9 a + 9}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{2 a^{2} - 7 a - 15}{3 a^{2} - 8 a - 3} \cdot \frac{9 a^{2} - 1}{4 a^{2} - 9} \frac{2 a^{2} - 9 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 a$ .

$\frac{2 a^{2} - 7 (a) - 15}{3 a^{2} - 8 a - 3} \cdot \frac{9 a^{2} - 1}{4 a^{2} - 9} \frac{2 a^{2} - 9 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 2.1.2

Запишем $- 7$ как $3$ плюс $- 10$

$\frac{2 a^{2} + (3 - 10) a - 15}{3 a^{2} - 8 a - 3} \cdot \frac{9 a^{2} - 1}{4 a^{2} - 9} \frac{2 a^{2} - 9 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 a^{2} + 3 a - 10 a - 15}{3 a^{2} - 8 a - 3} \cdot \frac{9 a^{2} - 1}{4 a^{2} - 9} \frac{2 a^{2} - 9 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 a^{2} + 3 a) - 10 a - 15}{3 a^{2} - 8 a - 3} \cdot \frac{9 a^{2} - 1}{4 a^{2} - 9} \frac{2 a^{2} - 9 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{a (2 a + 3) - 5 (2 a + 3)}{3 a^{2} - 8 a - 3} \cdot \frac{9 a^{2} - 1}{4 a^{2} - 9} \frac{2 a^{2} - 9 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 a + 3$ .

$\frac{(2 a + 3) (a - 5)}{3 a^{2} - 8 a - 3} \cdot \frac{9 a^{2} - 1}{4 a^{2} - 9} \frac{2 a^{2} - 9 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ , а сумма — $b = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 8$ из $- 8 a$ .

$\frac{(2 a + 3) (a - 5)}{3 a^{2} - 8 (a) - 3} \cdot \frac{9 a^{2} - 1}{4 a^{2} - 9} \frac{2 a^{2} - 9 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 3.1.2

Запишем $- 8$ как $1$ плюс $- 9$

$\frac{(2 a + 3) (a - 5)}{3 a^{2} + (1 - 9) a - 3} \cdot \frac{9 a^{2} - 1}{4 a^{2} - 9} \frac{2 a^{2} - 9 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 a + 3) (a - 5)}{3 a^{2} + 1 a - 9 a - 3} \cdot \frac{9 a^{2} - 1}{4 a^{2} - 9} \frac{2 a^{2} - 9 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 3.1.4

Умножим $a$ на $1$ .

$\frac{(2 a + 3) (a - 5)}{3 a^{2} + a - 9 a - 3} \cdot \frac{9 a^{2} - 1}{4 a^{2} - 9} \frac{2 a^{2} - 9 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 a + 3) (a - 5)}{(3 a^{2} + a) - 9 a - 3} \cdot \frac{9 a^{2} - 1}{4 a^{2} - 9} \frac{2 a^{2} - 9 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(2 a + 3) (a - 5)}{a (3 a + 1) - 3 (3 a + 1)} \cdot \frac{9 a^{2} - 1}{4 a^{2} - 9} \frac{2 a^{2} - 9 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 a + 1$ .

$\frac{(2 a + 3) (a - 5)}{(3 a + 1) (a - 3)} \cdot \frac{9 a^{2} - 1}{4 a^{2} - 9} \frac{2 a^{2} - 9 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $9 a^{2}$ в виде ${(3 a)}^{2}$ .

$\frac{(2 a + 3) (a - 5)}{(3 a + 1) (a - 3)} \cdot \frac{{(3 a)}^{2} - 1}{4 a^{2} - 9} \frac{2 a^{2} - 9 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 4.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{(2 a + 3) (a - 5)}{(3 a + 1) (a - 3)} \cdot \frac{{(3 a)}^{2} - 1^{2}}{4 a^{2} - 9} \frac{2 a^{2} - 9 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 4.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3 a$ и $b = 1$ .

$\frac{(2 a + 3) (a - 5)}{(3 a + 1) (a - 3)} \cdot \frac{(3 a + 1) (3 a - 1)}{4 a^{2} - 9} \frac{2 a^{2} - 9 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $4 a^{2}$ в виде ${(2 a)}^{2}$ .

$\frac{(2 a + 3) (a - 5)}{(3 a + 1) (a - 3)} \cdot \frac{(3 a + 1) (3 a - 1)}{{(2 a)}^{2} - 9} \frac{2 a^{2} - 9 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 5.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{(2 a + 3) (a - 5)}{(3 a + 1) (a - 3)} \cdot \frac{(3 a + 1) (3 a - 1)}{{(2 a)}^{2} - 3^{2}} \frac{2 a^{2} - 9 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 5.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 a$ и $b = 3$ .

$\frac{(2 a + 3) (a - 5)}{(3 a + 1) (a - 3)} \cdot \frac{(3 a + 1) (3 a - 1)}{(2 a + 3) (2 a - 3)} \frac{2 a^{2} - 9 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $2 a + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 a + 3) (a - 5)}{(3 a + 1) (a - 3)} \cdot \frac{(3 a + 1) (3 a - 1)}{(2 a + 3) (2 a - 3)} \frac{2 a^{2} - 9 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 6.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a - 5}{(3 a + 1) (a - 3)} \cdot \frac{(3 a + 1) (3 a - 1)}{2 a - 3} \frac{2 a^{2} - 9 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $3 a + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a - 5}{(3 a + 1) (a - 3)} \cdot \frac{(3 a + 1) (3 a - 1)}{2 a - 3} \frac{2 a^{2} - 9 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a - 5}{a - 3} \cdot \frac{3 a - 1}{2 a - 3} \frac{2 a^{2} - 9 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 6.3

Умножим $\frac{a - 5}{a - 3}$ на $\frac{3 a - 1}{2 a - 3}$ .

$\frac{(a - 5) (3 a - 1)}{(a - 3) (2 a - 3)} \cdot \frac{2 a^{2} - 9 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 7

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ , а сумма — $b = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $- 9$ из $- 9 a$ .

$\frac{(a - 5) (3 a - 1)}{(a - 3) (2 a - 3)} \cdot \frac{2 a^{2} - 9 (a) + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 7.1.2

Запишем $- 9$ как $- 3$ плюс $- 6$

$\frac{(a - 5) (3 a - 1)}{(a - 3) (2 a - 3)} \cdot \frac{2 a^{2} + (- 3 - 6) a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(a - 5) (3 a - 1)}{(a - 3) (2 a - 3)} \cdot \frac{2 a^{2} - 3 a - 6 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(a - 5) (3 a - 1)}{(a - 3) (2 a - 3)} \cdot \frac{(2 a^{2} - 3 a) - 6 a + 9}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 7.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(a - 5) (3 a - 1)}{(a - 3) (2 a - 3)} \cdot \frac{a (2 a - 3) - 3 (2 a - 3)}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 7.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 a - 3$ .

$\frac{(a - 5) (3 a - 1)}{(a - 3) (2 a - 3)} \cdot \frac{(2 a - 3) (a - 3)}{a^{2} + 3 a - 10}$

Этап 8

Разложим $a^{2} + 3 a - 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 10$ , а сумма — $3$ .

$- 2, 5$

Этап 8.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(a - 5) (3 a - 1)}{(a - 3) (2 a - 3)} \cdot \frac{(2 a - 3) (a - 3)}{(a - 2) (a + 5)}$

Этап 9

Сократим общий множитель $(2 a - 3) (a - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $(2 a - 3) (a - 3)$ из $(a - 3) (2 a - 3)$ .

$\frac{(a - 5) (3 a - 1)}{(2 a - 3) (a - 3) (1)} \cdot \frac{(2 a - 3) (a - 3)}{(a - 2) (a + 5)}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(a - 5) (3 a - 1)}{(2 a - 3) (a - 3) \cdot 1} \cdot \frac{(2 a - 3) (a - 3)}{(a - 2) (a + 5)}$

Этап 9.3

Перепишем это выражение.

$(a - 5) (3 a - 1) \frac{1}{(a - 2) (a + 5)}$

Этап 10

Развернем $(a - 5) (3 a - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(a (3 a - 1) - 5 (3 a - 1)) \frac{1}{(a - 2) (a + 5)}$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(a (3 a) + a \cdot - 1 - 5 (3 a - 1)) \frac{1}{(a - 2) (a + 5)}$

Этап 10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(a (3 a) + a \cdot - 1 - 5 (3 a) - 5 \cdot - 1) \frac{1}{(a - 2) (a + 5)}$

Этап 11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(3 a \cdot a + a \cdot - 1 - 5 (3 a) - 5 \cdot - 1) \frac{1}{(a - 2) (a + 5)}$

Этап 11.1.2

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1

Перенесем $a$ .

$(3 (a \cdot a) + a \cdot - 1 - 5 (3 a) - 5 \cdot - 1) \frac{1}{(a - 2) (a + 5)}$

Этап 11.1.2.2

Умножим $a$ на $a$ .

$(3 a^{2} + a \cdot - 1 - 5 (3 a) - 5 \cdot - 1) \frac{1}{(a - 2) (a + 5)}$

Этап 11.1.3

Перенесем $- 1$ влево от $a$ .

$(3 a^{2} - 1 \cdot a - 5 (3 a) - 5 \cdot - 1) \frac{1}{(a - 2) (a + 5)}$

Этап 11.1.4

Перепишем $- 1 a$ в виде $- a$ .

$(3 a^{2} - a - 5 (3 a) - 5 \cdot - 1) \frac{1}{(a - 2) (a + 5)}$

Этап 11.1.5

Умножим $3$ на $- 5$ .

$(3 a^{2} - a - 15 a - 5 \cdot - 1) \frac{1}{(a - 2) (a + 5)}$

Этап 11.1.6

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$(3 a^{2} - a - 15 a + 5) \frac{1}{(a - 2) (a + 5)}$

Этап 11.2

Вычтем $15 a$ из $- a$ .

$(3 a^{2} - 16 a + 5) \frac{1}{(a - 2) (a + 5)}$

Этап 12

Умножим $3 a^{2} - 16 a + 5$ на $\frac{1}{(a - 2) (a + 5)}$ .

$\frac{3 a^{2} - 16 a + 5}{(a - 2) (a + 5)}$

Этап 13

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 5 = 15$ , а сумма — $b = - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вынесем множитель $- 16$ из $- 16 a$ .

$\frac{3 a^{2} - 16 (a) + 5}{(a - 2) (a + 5)}$

Этап 13.1.2

Запишем $- 16$ как $- 1$ плюс $- 15$

$\frac{3 a^{2} + (- 1 - 15) a + 5}{(a - 2) (a + 5)}$

Этап 13.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 a^{2} - 1 a - 15 a + 5}{(a - 2) (a + 5)}$

Этап 13.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(3 a^{2} - 1 a) - 15 a + 5}{(a - 2) (a + 5)}$

Этап 13.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{a (3 a - 1) - 5 (3 a - 1)}{(a - 2) (a + 5)}$

Этап 13.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 a - 1$ .

$\frac{(3 a - 1) (a - 5)}{(a - 2) (a + 5)}$