Алгебра Примеры

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{x^{3} - 1} - \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{x^{3} - 1^{3}} - \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})} - \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 1.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x^{2} + x + 1) (x - 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x^{2} (x - 1)}{(x^{2} + x + 1) (x - 1)} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 3.2

Изменим порядок множителей в $(x^{2} + x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{3 x^{2} (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x^{2} (x - 1) - x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{2} (x - 1) - x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{2} (x - 1)$ .

$\frac{x^{2} (3 (x - 1)) - x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (3 (x - 1)) + x^{2} (- x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (3 (x - 1)) + x^{2} (- x)$ .

$\frac{x^{2} (3 (x - 1) - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} (3 x + 3 \cdot - 1 - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 5.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} (3 x - 3 - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 5.4

Вычтем $x$ из $3 x$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 6

Чтобы записать $- \frac{2 x}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{2 x}{x - 1}$ на $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} (2 x - 3) - 2 x (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (2 x - 3) - 2 x (x^{2} + x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (2 x - 3)$ .

$\frac{x (x (2 x - 3)) - 2 x (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 8.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{x (x (2 x - 3)) + x (- 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 8.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (x (2 x - 3)) + x (- 2 (x^{2} + x + 1))$ .

$\frac{x (x (2 x - 3) - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 8.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x (2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 8.4

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$\frac{x (2 x \cdot x - 3 \cdot x - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 8.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x (2 (x \cdot x) - 3 \cdot x - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 8.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x (2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

$\frac{x (2 x^{2} - 3 x - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 8.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 8.7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{x (2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} - 2 x - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 8.8

Вычтем $2 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x (- 3 x + 0 - 2 x - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 8.9

Добавим $- 3 x$ и $0$ .

$\frac{x (- 3 x - 2 x - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 8.10

Вычтем $2 x$ из $- 3 x$ .

$\frac{x (- 5 x - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 9

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 x$ .

$\frac{x (- (5 x) - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 9.2

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$\frac{x (- (5 x) - 1 (2))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 9.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (5 x) - 1 (2)$ .

$\frac{x (- (5 x + 2))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 9.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Перепишем $- (5 x + 2)$ в виде $- 1 (5 x + 2)$ .

$\frac{x (- 1 (5 x + 2))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 9.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x (5 x + 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$