Алгебра Примеры

${(\frac{49}{81})}^{x + 1} \geq \frac{9}{7}$

Этап 1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln ({(\frac{49}{81})}^{x + 1}) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Этап 2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Развернем $\ln ({(\frac{49}{81})}^{x + 1})$ , вынося $x + 1$ из логарифма.

$(x + 1) \ln (\frac{49}{81}) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Этап 2.2

Перепишем $\ln (\frac{49}{81})$ в виде $\ln (49) - \ln (81)$ .

$(x + 1) (\ln (49) - \ln (81)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Этап 2.3

Перепишем $\ln (81)$ в виде $\ln (3^{4})$ .

$(x + 1) (\ln (49) - \ln (3^{4})) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Этап 2.4

Развернем $\ln (3^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$(x + 1) (\ln (49) - (4 \ln (3))) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Этап 2.5

Умножим $4$ на $- 1$ .

$(x + 1) (\ln (49) - 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $(x + 1) (\ln (49) - 4 \ln (3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Развернем $(x + 1) (\ln (49) - 4 \ln (3))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (\ln (49) - 4 \ln (3)) + 1 (\ln (49) - 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Этап 3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + 1 (\ln (49) - 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Этап 3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + 1 \ln (49) + 1 (- 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Этап 3.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Умножим $\ln (49)$ на $1$ .

$x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + \ln (49) + 1 (- 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $- 4 \ln (3)$ на $1$ .

$x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + \ln (49) - 4 \ln (3) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Этап 3.1.2.2

Изменим порядок множителей в $x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + \ln (49) - 4 \ln (3)$ .

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (49) - 4 \ln (3) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Этап 4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (49) - 4 \ln (3) - \ln (\frac{9}{7}) = 0$

Этап 5

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (\frac{49}{\frac{9}{7}}) - 4 \ln (3) = 0$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (49 (\frac{7}{9})) - 4 \ln (3) = 0$

Этап 6.2

Умножим $49 (\frac{7}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $49$ и $\frac{7}{9}$ .

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (\frac{49 \cdot 7}{9}) - 4 \ln (3) = 0$

Этап 6.2.2

Умножим $49$ на $7$ .

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3) = 0$

Этап 7

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $\ln (\frac{343}{9})$ из обеих частей уравнения.

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) - 4 \ln (3) = - \ln (\frac{343}{9})$

Этап 7.2

Добавим $4 \ln (3)$ к обеим частям уравнения.

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$

Этап 8

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (49) - 4 x \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (49)$ .

$x (\ln (49)) - 4 x \ln (3) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$

Этап 8.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x \ln (3)$ .

$x (\ln (49)) + x (- 4 \ln (3)) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$

Этап 8.3

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln (49)) + x (- 4 \ln (3))$ .

$x (\ln (49) - 4 \ln (3)) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$

Этап 9

Разделим каждый член $x (\ln (49) - 4 \ln (3)) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$ на $\ln (49) - 4 \ln (3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим каждый член $x (\ln (49) - 4 \ln (3)) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$ на $\ln (49) - 4 \ln (3)$ .

$\frac{x (\ln (49) - 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{343}{9})}{\ln (49) - 4 \ln (3)} + \frac{4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель $\ln (49) - 4 \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (\ln (49) - 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{343}{9})}{\ln (49) - 4 \ln (3)} + \frac{4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Этап 9.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{343}{9})}{\ln (49) - 4 \ln (3)} + \frac{4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Этап 9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{- \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Этап 9.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (\frac{343}{9})$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Этап 9.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $4 \ln (3)$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{343}{9}) - (- 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Этап 9.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (\frac{343}{9}) - (- 4 \ln (3))$ .

$x = \frac{- (\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Этап 9.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.5.1

Перепишем $- (\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3))$ в виде $- 1 (\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3))$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Этап 9.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - \frac{\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x \leq - \frac{\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}]$

Этап 12