Алгебра Примеры

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = a$

$b = b$

$k = k$

$h = h$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(h, k)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(a)}^{2} + {(b)}^{2}}$

Этап 5.3

Избавимся от скобок.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(h + a, k)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(h - a, k)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(h + a, k), (h - a, k)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(h + \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(h - \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(h + \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k), (h - \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(a)}^{2} + {(b)}^{2}}}{a}$

Этап 8.3

Избавимся от скобок.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ .

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Умножим $\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ .

$\frac{b^{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.3.2.2

Возведем $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{b^{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}^{1} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.3.2.3

Возведем $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{b^{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}^{1} {\sqrt{a^{2} + b^{2}}}^{1}}$

Этап 9.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{b^{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{b^{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}^{2}}$

Этап 9.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{a^{2} + b^{2}}}^{2}$ в виде $a^{2} + b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в виде ${(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{b^{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{{({(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{b^{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{{(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{b^{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{{(a^{2} + b^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{b^{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{{(a^{2} + b^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{b^{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{{(a^{2} + b^{2})}^{1}}$

Этап 9.3.2.6.5

Упростим.

$\frac{b^{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm \frac{b}{a} \cdot (x - (h)) + k$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $- 1$ на $h$ .

$y = \frac{b}{a} \cdot (x - h) + k$

Этап 11.2

Избавимся от скобок.

$y = \frac{b}{a} \cdot (x - (h)) + k$

Этап 11.3

Упростим $\frac{b}{a} \cdot (x - (h)) + k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Умножим $\frac{b}{a}$ на $x - h$ .

$y = \frac{b (x - h)}{a} + k$

Этап 11.3.2

Чтобы записать $k$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a}{a}$ .

$y = \frac{b (x - h)}{a} + \frac{k a}{a}$

Этап 11.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{b (x - h) + k a}{a}$

Этап 11.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{b x + b (- h) + k a}{a}$

Этап 11.3.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{b x - b h + k a}{a}$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $- 1$ на $h$ .

$y = - \frac{b}{a} \cdot (x - h) + k$

Этап 12.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{b}{a} \cdot (x - (h)) + k$

Этап 12.3

Упростим $- \frac{b}{a} \cdot (x - (h)) + k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{b}{a} x - \frac{b}{a} (- h) + k$

Этап 12.3.1.2

Объединим $x$ и $\frac{b}{a}$ .

$y = - \frac{x b}{a} - \frac{b}{a} (- h) + k$

Этап 12.3.1.3

Умножим $- \frac{b}{a} (- h)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x b}{a} + 1 \frac{b}{a} h + k$

Этап 12.3.1.3.2

Умножим $\frac{b}{a}$ на $1$ .

$y = - \frac{x b}{a} + \frac{b}{a} h + k$

Этап 12.3.1.3.3

Объединим $\frac{b}{a}$ и $h$ .

$y = - \frac{x b}{a} + \frac{b h}{a} + k$

Этап 12.3.2

Упростим, используя свойство коммутативности.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $b$ .

$y = - \frac{b x}{a} + \frac{b h}{a} + k$

Этап 12.3.2.2

Изменим порядок $- \frac{b x}{a}$ и $\frac{b h}{a}$ .

$y = \frac{b h}{a} - \frac{b x}{a} + k$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{b x - b h + k a}{a}, y = \frac{b h}{a} - \frac{b x}{a} + k$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(h, k)$

Вершины: $(h + a, k), (h - a, k)$

Фокусы: $(h + \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k), (h - \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Фокальный параметр: $\frac{b^{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a^{2} + b^{2}}$

Асимптоты: $y = \frac{b x - b h + k a}{a}$ , $y = \frac{b h}{a} - \frac{b x}{a} + k$

Этап 15