Trigonometria Exemplos

$\sqrt{3} \csc (θ) - 2 = 0$ , $[0, 2 π)$

Etapa 1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$\sqrt{3} \csc (θ) = 2$

Etapa 2

Divida cada termo em $\sqrt{3} \csc (θ) = 2$ por $\sqrt{3}$ e simplifique.

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Etapa 2.1

Divida cada termo em $\sqrt{3} \csc (θ) = 2$ por $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \csc (θ)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{3}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3} \csc (θ)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.2.1.2

Divida $\csc (θ)$ por $1$ .

$\csc (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.3.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.3.2.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 2.3.2.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 2.3.2.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 2.3.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.3.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 2.3.2.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 2.3.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.3.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.3.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 2.3.2.6.5

Avalie o expoente.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da cossecante.

$θ = arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1

O valor exato de $arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ é $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Etapa 5

A função cossecante é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$θ = π - \frac{π}{3}$

Etapa 6

Simplifique $π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 6.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$θ = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 6.2

Combine frações.

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Etapa 6.2.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$θ = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Etapa 6.3.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Etapa 7

Encontre o período de $\csc (θ)$ .

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Etapa 7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 8

O período da função $\csc (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Encontre os valores de $n$ que produzem um valor dentro do intervalo $[0, 2 π)$ .

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Etapa 9.1

Substitua $0$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

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Etapa 9.1.1

Substitua $0$ por $n$ .

$\frac{π}{3} + 2 π (0)$

Etapa 9.1.2

Simplifique.

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Etapa 9.1.2.1

Multiplique $2 π (0)$ .

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Etapa 9.1.2.1.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$\frac{π}{3} + 0 π$

Etapa 9.1.2.1.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$\frac{π}{3} + 0$

Etapa 9.1.2.2

Some $\frac{π}{3}$ e $0$ .

$\frac{π}{3}$

Etapa 9.1.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Etapa 9.2

Substitua $0$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

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Etapa 9.2.1

Substitua $0$ por $n$ .

$\frac{2 π}{3} + 2 π (0)$

Etapa 9.2.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.2.1

Multiplique $2 π (0)$ .

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Etapa 9.2.2.1.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$\frac{2 π}{3} + 0 π$

Etapa 9.2.2.1.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$\frac{2 π}{3} + 0$

Etapa 9.2.2.2

Some $\frac{2 π}{3}$ e $0$ .

$\frac{2 π}{3}$

Etapa 9.2.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$