Trigonometria Exemplos

$\sin (θ) > 0$ , $\cos (θ) < 0$

Etapa 1

Simplifique a primeira desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ > \arcsin (0)$ e $\cos (θ) < 0$

Etapa 1.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$θ > 0$ e $\cos (θ) < 0$

Etapa 1.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$θ = π - 0$ e $\cos (θ) < 0$

Etapa 1.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$θ = π$ e $\cos (θ) < 0$

Etapa 1.5

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.6

O período da função $\sin (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ e $\cos (θ) < 0$

Etapa 1.7

Consolide as respostas.

$θ = π n$ e $\cos (θ) < 0$

Etapa 1.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$0 < θ < π$

$π < θ < 2 π$ e $\cos (θ) < 0$

Etapa 1.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1

Teste um valor no intervalo $0 < θ < π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $0 < θ < π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$θ = 2$ e $\cos (θ) < 0$

Etapa 1.9.1.2

Substitua $θ$ por $2$ na desigualdade original.

$\sin (2) > 0$ e $\cos (θ) < 0$

Etapa 1.9.1.3

O lado esquerdo $0.90929742$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro e $\cos (θ) < 0$

Etapa 1.9.2

Teste um valor no intervalo $π < θ < 2 π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $π < θ < 2 π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$θ = 5$ e $\cos (θ) < 0$

Etapa 1.9.2.2

Substitua $θ$ por $5$ na desigualdade original.

$\sin (5) > 0$ e $\cos (θ) < 0$

Etapa 1.9.2.3

O lado esquerdo $- 0.95892427$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso e $\cos (θ) < 0$

Etapa 1.9.3

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$0 < θ < π$ Verdadeiro

$π < θ < 2 π$ False and $\cos (θ) < 0$

$0 < θ < π$ Verdadeiro

$π < θ < 2 π$ False and $\cos (θ) < 0$

Etapa 1.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $\cos (θ) < 0$

Etapa 2

Simplifique a segunda desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $θ < \arccos (0)$

Etapa 2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $θ < \frac{π}{2}$

Etapa 2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 2.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $θ = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $θ = \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.5

Encontre o período de $\cos (θ)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.6

O período da função $\cos (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

Etapa 2.7

Consolide as respostas.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $θ = \frac{π}{2} + π n$

Etapa 2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$

Etapa 2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $θ = 3$

Etapa 2.9.1.2

Substitua $θ$ por $3$ na desigualdade original.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $\cos (3) < 0$

Etapa 2.9.1.3

O lado esquerdo $- 0.98999249$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ and True

Etapa 2.9.2

Teste um valor no intervalo $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $θ = 6$

Etapa 2.9.2.2

Substitua $θ$ por $6$ na desigualdade original.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $\cos (6) < 0$

Etapa 2.9.2.3

O lado esquerdo $0.96017028$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ and False

Etapa 2.9.3

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ and $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ True

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ Falso

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ and $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ True

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ Falso

Etapa 2.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ e $\frac{π}{2} + 2 π n < θ < \frac{3 π}{2} + 2 π n$

Etapa 3