Trigonometria Exemplos

$25 x^{2} + 36 y^{2} - 350 x + 325 = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $325$ dos dois lados da equação.

$25 x^{2} + 36 y^{2} - 350 x = - 325$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $25 x^{2} - 350 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 25$

$b = - 350$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 350}{2 \cdot 25}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 350$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 350$ .

$d = \frac{2 \cdot - 175}{2 \cdot 25}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 175}{2 (25)}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 175}{2 \cdot 25}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 175}{25}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 175$ e $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Fatore $25$ de $- 175$ .

$d = \frac{25 \cdot - 7}{25}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.2.1

Fatore $25$ de $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 7}{25 (1)}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{25 \cdot - 7}{25 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 7}{1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.4

Divida $- 7$ por $1$ .

$d = - 7$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 350)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $- 350$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{122500}{4 \cdot 25}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $25$ .

$e = 0 - \frac{122500}{100}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $122500$ por $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 1225$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1225$ .

$e = 0 - 1225$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $1225$ de $0$ .

$e = - 1225$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $25 {(x - 7)}^{2} - 1225$ .

$25 {(x - 7)}^{2} - 1225$

Etapa 1.3

Substitua $25 {(x - 7)}^{2} - 1225$ por $25 x^{2} - 350 x$ na equação $25 x^{2} + 36 y^{2} - 350 x = - 325$ .

$25 {(x - 7)}^{2} - 1225 + 36 y^{2} = - 325$

Etapa 1.4

Mova $- 1225$ para o lado direito da equação, somando $1225$ aos dois lados.

$25 {(x - 7)}^{2} + 36 y^{2} = - 325 + 1225$

Etapa 1.5

Some $- 325$ e $1225$ .

$25 {(x - 7)}^{2} + 36 y^{2} = 900$

Etapa 1.6

Divida cada termo por $900$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{25 {(x - 7)}^{2}}{900} + \frac{36 y^{2}}{900} = \frac{900}{900}$

Etapa 1.7

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x - 7)}^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 6$

$b = 5$

$k = 0$

$h = 7$

Etapa 4

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 4.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(5)}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\sqrt{36 - {(5)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\sqrt{36 - 1 \cdot 25}$

Etapa 4.3.3

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$\sqrt{36 - 25}$

Etapa 4.3.4

Subtraia $25$ de $36$ .

$\sqrt{11}$

Etapa 5

Encontre o ponto imaginário.

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Etapa 5.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 5.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(7 + \sqrt{11}, 0)$

Etapa 5.3

O segundo foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 5.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(7 - (\sqrt{11}), 0)$

Etapa 5.5

Simplifique.

$(7 - \sqrt{11}, 0)$

Etapa 5.6

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(7 + \sqrt{11}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(7 - \sqrt{11}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(7 + \sqrt{11}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(7 - \sqrt{11}, 0)$

Etapa 6