Trigonometria Exemplos

$3 x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y - 11 = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $11$ aos dois lados da equação.

$3 x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y = 11$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $3 x^{2} + 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 3$

$b = 6$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (3)}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{3}{3}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{3}{3}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$d = 1$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 3}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$e = 0 - \frac{36}{12}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $36$ por $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$e = 0 - 3$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $3$ de $0$ .

$e = - 3$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $3 {(x + 1)}^{2} - 3$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - 3$

Etapa 1.3

Substitua $3 {(x + 1)}^{2} - 3$ por $3 x^{2} + 6 x$ na equação $3 x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y = 11$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - 3 + y^{2} - 8 y = 11$

Etapa 1.4

Mova $- 3$ para o lado direito da equação, somando $3$ aos dois lados.

$3 {(x + 1)}^{2} + y^{2} - 8 y = 11 + 3$

Etapa 1.5

Complete o quadrado de $y^{2} - 8 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Etapa 1.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2

Cancele o fator comum de $- 8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Fatore $2$ de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 4}{1}$

Etapa 1.5.3.2.2.4

Divida $- 4$ por $1$ .

$d = - 4$

Etapa 1.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Divida $64$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Etapa 1.5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$e = 0 - 16$

Etapa 1.5.4.2.2

Subtraia $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Etapa 1.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(y - 4)}^{2} - 16$ .

${(y - 4)}^{2} - 16$

Etapa 1.6

Substitua ${(y - 4)}^{2} - 16$ por $y^{2} - 8 y$ na equação $3 x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y = 11$ .

$3 {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} - 16 = 11 + 3$

Etapa 1.7

Mova $- 16$ para o lado direito da equação, somando $16$ aos dois lados.

$3 {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 11 + 3 + 16$

Etapa 1.8

Simplifique $11 + 3 + 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Some $11$ e $3$ .

$3 {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 14 + 16$

Etapa 1.8.2

Some $14$ e $16$ .

$3 {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 30$

Etapa 1.9

Divida cada termo por $30$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{30} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{30} = \frac{30}{30}$

Etapa 1.10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{10} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{30} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = \sqrt{30}$

$b = \sqrt{10}$

$k = 4$

$h = - 1$

Etapa 4

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(\sqrt{30})}^{2} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Reescreva ${\sqrt{30}}^{2}$ como $30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{30}$ como $30^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

Etapa 4.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{30^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

Etapa 4.3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{30^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

Etapa 4.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{30^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

Etapa 4.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{30^{1} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

Etapa 4.3.1.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{30 - {(\sqrt{10})}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Reescreva ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{30 - {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{30 - 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{30 - 10^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{30 - 10^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{30 - 10^{1}}$

Etapa 4.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{30 - 1 \cdot 10}$

Etapa 4.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$\sqrt{30 - 10}$

Etapa 4.3.3.2

Subtraia $10$ de $30$ .

$\sqrt{20}$

Etapa 4.3.4

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Fatore $4$ de $20$ .

$\sqrt{4 (5)}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Etapa 4.3.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$2 \sqrt{5}$

Etapa 5

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 5.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(- 1, 4 + 2 \sqrt{5})$

Etapa 5.3

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 5.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(- 1, 4 - (2 \sqrt{5}))$

Etapa 5.5

Simplifique.

$(- 1, 4 - 2 \sqrt{5})$

Etapa 5.6

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - 2 \sqrt{5})$

Etapa 6