Trigonometria Exemplos

$4 x^{2} + 36 y^{2} = 144$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

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Etapa 1.1

Divida cada termo por $144$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{4 x^{2}}{144} + \frac{36 y^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Etapa 1.2

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 6$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 4.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\sqrt{36 - {(2)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{36 - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.3.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\sqrt{36 - 4}$

Etapa 4.3.4

Subtraia $4$ de $36$ .

$\sqrt{32}$

Etapa 4.3.5

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 4.3.5.1

Fatore $16$ de $32$ .

$\sqrt{16 (2)}$

Etapa 4.3.5.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Etapa 4.3.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$4 \sqrt{2}$

Etapa 5

Encontre o ponto imaginário.

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Etapa 5.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 5.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0 + 4 \sqrt{2}, 0)$

Etapa 5.3

Simplifique.

$(4 \sqrt{2}, 0)$

Etapa 5.4

O segundo foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 5.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0 - (4 \sqrt{2}), 0)$

Etapa 5.6

Simplifique.

$(- 4 \sqrt{2}, 0)$

Etapa 5.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(4 \sqrt{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 4 \sqrt{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(4 \sqrt{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 4 \sqrt{2}, 0)$

Etapa 6