Trigonometria Exemplos

$f (x) = 3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$

Etapa 1

Defina $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ como igual a $0$ .

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Etapa 2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 12, \pm 4, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 6, \pm 3, \pm 1.\overline{3}$

Etapa 2.1.3

Substitua $- 0.\overline{6}$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 0.\overline{6}$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.3.1

Substitua $- 0.\overline{6}$ no polinômio.

$3 {(- 0.\overline{6})}^{3} - 16 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Etapa 2.1.3.2

Eleve $- 0.\overline{6}$ à potência de $3$ .

$3 \cdot - 0.\overline{296} - 16 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 0.\overline{296}$ .

$- 0.\overline{8} - 16 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Etapa 2.1.3.4

Eleve $- 0.\overline{6}$ à potência de $2$ .

$- 0.\overline{8} - 16 \cdot 0.\overline{4} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Etapa 2.1.3.5

Multiplique $- 16$ por $0.\overline{4}$ .

$- 0.\overline{8} - 7.11111111 - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Etapa 2.1.3.6

Subtraia $7.11111111$ de $- 0.\overline{8}$ .

$- 8 - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Etapa 2.1.3.7

Multiplique $- 30$ por $- 0.\overline{6}$ .

$- 8 + 20 - 12$

Etapa 2.1.3.8

Some $- 8$ e $20$ .

$12 - 12$

Etapa 2.1.3.9

Subtraia $12$ de $12$ .

$0$

Etapa 2.1.4

Como $- 0.\overline{6}$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $3 x + 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12}{3 x + 2}$

Etapa 2.1.5

Divida $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ por $3 x + 2$ .

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Etapa 2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$3 x$

$2$

$3 x^{3}$

$16 x^{2}$

$30 x$

$12$

Etapa 2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$

Etapa 2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			+	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$

Etapa 2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$

Etapa 2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 18 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$

Etapa 2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					-	$18 x^{2}$	-	$12 x$

Etapa 2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 18 x^{2} - 12 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$

Etapa 2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$

Etapa 2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$

Etapa 2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 18 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$

Etapa 2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$
							-	$18 x$	-	$12$

Etapa 2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 18 x - 12$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$
							+	$18 x$	+	$12$

Etapa 2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$
							+	$18 x$	+	$12$
										$0$

Etapa 2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 6 x - 6$

Etapa 2.1.6

Escreva $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ como um conjunto de fatores.

$(3 x + 2) (x^{2} - 6 x - 6) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x^{2} - 6 x - 6 = 0$

Etapa 2.3

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $3 x + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 2$

Etapa 2.3.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 2.3.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 2.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Etapa 2.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{3}$

Etapa 2.4

Defina $x^{2} - 6 x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x^{2} - 6 x - 6$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 6 x - 6 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} - 6 x - 6 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 6$ e $c = - 6$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.4.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.2.3.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Etapa 2.4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.3

Some $36$ e $24$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.4

Reescreva $60$ como $2^{2} \cdot 15$ .

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Etapa 2.4.2.3.1.4.1

Fatore $4$ de $60$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

Etapa 2.4.2.3.3

Simplifique $\frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{15}$

Etapa 2.4.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x + 2) (x^{2} - 6 x - 6) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{2}{3}, 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{2}{3}, 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

Forma decimal:

$x = - 0.\overline{6}, 6.87298334 \dots, - 0.87298334 \dots$

Etapa 4