Trigonometria Exemplos

$f (x) = x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 26$

Etapa 1

Defina $x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 26$ como igual a $0$ .

$x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 26 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore $x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 26$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 26, \pm 2, \pm 13$

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 26, \pm 2, \pm 13$

Etapa 2.1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{3} - 11 \cdot 1^{2} + 36 \cdot 1 - 26$

Etapa 2.1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$1 - 11 \cdot 1^{2} + 36 \cdot 1 - 26$

Etapa 2.1.3.3

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$1 - 11 \cdot 1 + 36 \cdot 1 - 26$

Etapa 2.1.3.4

Multiplique $- 11$ por $1$ .

$1 - 11 + 36 \cdot 1 - 26$

Etapa 2.1.3.5

Subtraia $11$ de $1$ .

$- 10 + 36 \cdot 1 - 26$

Etapa 2.1.3.6

Multiplique $36$ por $1$ .

$- 10 + 36 - 26$

Etapa 2.1.3.7

Some $- 10$ e $36$ .

$26 - 26$

Etapa 2.1.3.8

Subtraia $26$ de $26$ .

$0$

Etapa 2.1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 26}{x - 1}$

Etapa 2.1.5

Divida $x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 26$ por $x - 1$ .

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Etapa 2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$36 x$

$26$

Etapa 2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$36 x$	-	$26$

Etapa 2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$36 x$	-	$26$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$36 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$36 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

Etapa 2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$36 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$36 x$

Etapa 2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 10 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$36 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$36 x$

Etapa 2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$36 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$36 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$10 x$

Etapa 2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 10 x^{2} + 10 x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$36 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$10 x$

Etapa 2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$36 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$26 x$

Etapa 2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$36 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$26 x$	-	$26$

Etapa 2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $26 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$36 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$26 x$	-	$26$

Etapa 2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$36 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$26 x$	-	$26$
							+	$26 x$	-	$26$

Etapa 2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $26 x - 26$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$36 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$26 x$	-	$26$
							-	$26 x$	+	$26$

Etapa 2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$36 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$26 x$	-	$26$
							-	$26 x$	+	$26$
										$0$

Etapa 2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 10 x + 26$

Etapa 2.1.6

Escreva $x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 26$ como um conjunto de fatores.

$(x - 1) (x^{2} - 10 x + 26) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 10 x + 26 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.4

Defina $x^{2} - 10 x + 26$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x^{2} - 10 x + 26$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 10 x + 26 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} - 10 x + 26 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 10$ e $c = 26$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 26)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.4.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.2.3.1.1

Eleve $- 10$ à potência de $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 26$ .

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Etapa 2.4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $26$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.3

Subtraia $104$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.4

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{10 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2}$

Etapa 2.4.2.3.3

Simplifique $\frac{10 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 5 \pm i$

Etapa 2.4.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 5 + i, 5 - i$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (x^{2} - 10 x + 26) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, 5 + i, 5 - i$

Etapa 3