Trigonometria Exemplos

$(1.8, - 2)$ , $(3.8, - 1.4)$

Etapa 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Find the dot product.

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Etapa 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1.8 \cdot 3.8 - 2 \cdot - 1.4$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique $1.8$ por $3.8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 6.84 - 2 \cdot - 1.4$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 1.4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 6.84 + 2.8$

Etapa 2.2.2

Some $6.84$ e $2.8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 9.64$

Etapa 3

Encontre a magnitude de $a⃗$ .

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Etapa 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{1.8}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Eleve $1.8$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{3.24 + {(- 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{3.24 + 4}$

Etapa 3.2.3

Some $3.24$ e $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{7.24}$

Etapa 4

Encontre a magnitude de $b⃗$ .

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Etapa 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{3.8}^{2} + {(- 1.4)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Eleve $3.8$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{14.44 + {(- 1.4)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Eleve $- 1.4$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{14.44 + 1.96}$

Etapa 4.2.3

Some $14.44$ e $1.96$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16.4}$

Etapa 5

Substitua os valores na fórmula.

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{7.24} \sqrt{16.4}})$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{7.24 \cdot 16.4}})$

Etapa 6.1.2

Multiplique $7.24$ por $16.4$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{118.736}})$

Etapa 6.2

Multiplique $\frac{9.64}{\sqrt{118.736}}$ por $\frac{\sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{118.736}} \cdot \frac{\sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736}})$

Etapa 6.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $\frac{9.64}{\sqrt{118.736}}$ por $\frac{\sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736} \sqrt{118.736}})$

Etapa 6.3.2

Eleve $\sqrt{118.736}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{1} \sqrt{118.736}})$

Etapa 6.3.3

Eleve $\sqrt{118.736}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{1} {\sqrt{118.736}}^{1}})$

Etapa 6.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{1 + 1}})$

Etapa 6.3.5

Some $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{2}})$

Etapa 6.3.6

Reescreva ${\sqrt{118.736}}^{2}$ como $118.736$ .

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Etapa 6.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{118.736}$ como ${118.736}^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{({118.736}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 6.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 6.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{1}})$

Etapa 6.3.6.5

Avalie o expoente.

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{118.736})$

Etapa 6.4

Multiplique $9.64$ por $\sqrt{118.736}$ .

$θ = \arccos (\frac{105.04327196}{118.736})$

Etapa 6.5

Divida $105.04327196$ por $118.736$ .

$θ = \arccos (0.88467922)$

Etapa 6.6

Avalie $\arccos (0.88467922)$ .

$θ = 27.78792807$