Trigonometria Exemplos

$h (x) = \sqrt{\frac{x - 2}{x^{2} + x}}$

Etapa 1

Defina o denominador em $\frac{x - 2}{x^{2} + x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} + x = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore $x$ de $x^{2} + x$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

Etapa 2.1.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1$

Etapa 3

Defina o radicando em $\sqrt{\frac{x - 2}{x^{2} + x}}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\frac{x - 2}{x^{2} + x} < 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x - 2 = 0$

$x^{2} + x = 0$

Etapa 4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 4.3

Fatore $x$ de $x^{2} + x$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

Etapa 4.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Etapa 4.3.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Etapa 4.3.4

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

Etapa 4.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 4.5

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.6

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.6.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 4.6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 4.7

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1$

Etapa 4.8

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 2$

$x = 0, - 1$

Etapa 4.9

Consolide as soluções.

$x = 2, 0, - 1$

Etapa 4.10

Encontre o domínio de $\frac{x - 2}{x^{2} + x}$ .

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Etapa 4.10.1

Defina o denominador em $\frac{x - 2}{x^{2} + x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} + x = 0$

Etapa 4.10.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.10.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} + x$ .

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Etapa 4.10.2.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

Etapa 4.10.2.1.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Etapa 4.10.2.1.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Etapa 4.10.2.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

Etapa 4.10.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 4.10.2.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.10.2.4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.10.2.4.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 4.10.2.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 4.10.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1$

Etapa 4.10.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 4.11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 4.12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 4.12.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.12.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 4.12.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{(- 4) - 2}{{(- 4)}^{2} - 4} < 0$

Etapa 4.12.1.3

O lado esquerdo $- 0.5$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 4.12.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.12.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 0.5$

Etapa 4.12.2.2

Substitua $x$ por $- 0.5$ na desigualdade original.

$\frac{(- 0.5) - 2}{{(- 0.5)}^{2} - 0.5} < 0$

Etapa 4.12.2.3

O lado esquerdo $10$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.12.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.12.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 4.12.3.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$\frac{(1) - 2}{{(1)}^{2} + 1} < 0$

Etapa 4.12.3.3

O lado esquerdo $- 0.5$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 4.12.4

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.12.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 4.12.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{(4) - 2}{{(4)}^{2} + 4} < 0$

Etapa 4.12.4.3

O lado esquerdo $0.1$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.12.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

Etapa 4.13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 1$ ou $0 < x < 2$

Etapa 5

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq - 1, 0 \leq x < 2$

$(- \infty, - 1] \cup [0, 2)$

Etapa 6