Trigonometria Exemplos

$\frac{2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) - 1}{\sqrt{\sin (x)}} = 0$

Etapa 1

Defina o denominador em $\frac{2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) - 1}{\sqrt{\sin (x)}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{\sin (x)} = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{\sin (x)}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 2.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\sin (x)}$ como ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Simplifique ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 2.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 2.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\sin^{1} (x) = 0^{2}$

Etapa 2.2.2.1.2

Simplifique.

$\sin (x) = 0^{2}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 2.3

Resolva $x$ .

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Etapa 2.3.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.3.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 2.3.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 2.3.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 2.3.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.3.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.3.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.3.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.3.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.4

Consolide as respostas.

$x = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.5

Verifique as soluções, substituindo-as em $\sqrt{\sin (x)} = 0$ e resolvendo.

$x = 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Defina o radicando em $\sqrt{\sin (x)}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sin (x) < 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x < \arcsin (0)$

Etapa 4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x < 0$

Etapa 4.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 4.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 4.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 4.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.7

Consolide as respostas.

$x = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$0 < x < π$

$π < x < 2 π$

Etapa 4.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 4.9.1

Teste um valor no intervalo $0 < x < π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 4.9.1.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\sin (2) < 0$

Etapa 4.9.1.3

O lado esquerdo $0.90929742$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 4.9.2

Teste um valor no intervalo $π < x < 2 π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $π < x < 2 π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$

Etapa 4.9.2.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

$\sin (5) < 0$

Etapa 4.9.2.3

O lado esquerdo $- 0.95892427$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 4.9.3

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$0 < x < π$ Falso

$π < x < 2 π$ Verdadeiro

$0 < x < π$ Falso

$π < x < 2 π$ Verdadeiro

Etapa 4.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

${x | x = 2 π n, x = π + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6