Trigonometria Exemplos

$\log (3 x) = \log (5) + \log (x - 4)$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $\log (5)$ dos dois lados da equação.

$\log (3 x) - \log (5) = \log (x - 4)$

Etapa 1.2

Subtraia $\log (x - 4)$ dos dois lados da equação.

$\log (3 x) - \log (5) - \log (x - 4) = 0$

Etapa 2

Simplifique $\log (3 x) - \log (5) - \log (x - 4)$ .

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Etapa 2.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{3 x}{5}) - \log (x - 4) = 0$

Etapa 2.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{3 x}{5}}{x - 4}) = 0$

Etapa 2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\log (\frac{3 x}{5} \cdot \frac{1}{x - 4}) = 0$

Etapa 2.4

Multiplique $\frac{3 x}{5}$ por $\frac{1}{x - 4}$ .

$\log (\frac{3 x}{5 (x - 4)}) = 0$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{3 x}{5 (x - 4)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$5 (x - 4) = 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $5 (x - 4) = 0$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 4.1.1

Divida cada termo em $5 (x - 4) = 0$ por $5$ .

$\frac{5 (x - 4)}{5} = \frac{0}{5}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (x - 4)}{5} = \frac{0}{5}$

Etapa 4.1.2.1.2

Divida $x - 4$ por $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{5}$

Etapa 4.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1.3.1

Divida $0$ por $5$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 4.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 5

Defina o argumento em $\log (\frac{3 x}{5 (x - 4)})$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\frac{3 x}{5 (x - 4)} \leq 0$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$3 x = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 6.2

Divida cada termo em $3 x = 0$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 6.2.1

Divida cada termo em $3 x = 0$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 6.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$x = 0$

Etapa 6.3

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 6.4

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = 4$

Etapa 6.5

Consolide as soluções.

$x = 0, 4$

Etapa 6.6

Encontre o domínio de $\frac{3 x}{5 (x - 4)}$ .

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Etapa 6.6.1

Defina o denominador em $\frac{3 x}{5 (x - 4)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$5 (x - 4) = 0$

Etapa 6.6.2

Resolva $x$ .

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Etapa 6.6.2.1

Divida cada termo em $5 (x - 4) = 0$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 6.6.2.1.1

Divida cada termo em $5 (x - 4) = 0$ por $5$ .

$\frac{5 (x - 4)}{5} = \frac{0}{5}$

Etapa 6.6.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.6.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 6.6.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (x - 4)}{5} = \frac{0}{5}$

Etapa 6.6.2.1.2.1.2

Divida $x - 4$ por $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{5}$

Etapa 6.6.2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.6.2.1.3.1

Divida $0$ por $5$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 6.6.2.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 6.6.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 6.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 6.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 6.8.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 6.8.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{3 (- 2)}{5 ((- 2) - 4)} \leq 0$

Etapa 6.8.1.3

O lado esquerdo $0.2$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 6.8.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 6.8.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{3 (2)}{5 ((2) - 4)} \leq 0$

Etapa 6.8.2.3

O lado esquerdo $- 0.6$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 6.8.3

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 6.8.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{3 (6)}{5 ((6) - 4)} \leq 0$

Etapa 6.8.3.3

O lado esquerdo $1.8$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 6.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

Etapa 6.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 \leq x < 4$

Etapa 7

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$0 \leq x \leq 4$

$[0, 4]$

Etapa 8