Trigonometria Exemplos

$\cot (2 x) = \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$ dos dois lados da equação.

$\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Etapa 2

Simplifique $\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$ .

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Etapa 2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1^{2}}{2 \cot (x)} = 0$

Etapa 2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \cot (x)$ e $b = 1$ .

$\cot (2 x) - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Etapa 2.2

Para escrever $\cot (2 x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)}$ .

$\cot (2 x) \cdot \frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)} - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Etapa 2.3

Combine $\cot (2 x)$ e $\frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)}$ .

$\frac{\cot (2 x) (2 \cot (x))}{2 \cot (x)} - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\cot (2 x) (2 \cot (x)) - (\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Mova $2$ para a esquerda de $\cot (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot \cot (2 x) \cot (x) - (\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Etapa 2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) + (- \cot (x) - 1 \cdot 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Etapa 2.5.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) + (- \cot (x) - 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Etapa 2.5.4

Expanda $(- \cot (x) - 1) (\cot (x) - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.5.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) (\cot (x) - 1) - 1 (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Etapa 2.5.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) \cot (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Etapa 2.5.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) \cot (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Etapa 2.5.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.5.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.5.1.1

Multiplique $- \cot (x) \cot (x)$ .

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Etapa 2.5.5.1.1.1

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - (\cot^{1} (x) \cot (x)) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Etapa 2.5.5.1.1.2

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Etapa 2.5.5.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - {\cot (x)}^{1 + 1} - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Etapa 2.5.5.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Etapa 2.5.5.1.2

Multiplique $- \cot (x) \cdot - 1$ .

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Etapa 2.5.5.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1 \cot (x) - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Etapa 2.5.5.1.2.2

Multiplique $\cot (x)$ por $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Etapa 2.5.5.1.3

Reescreva $- 1 \cot (x)$ como $- \cot (x)$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Etapa 2.5.5.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - \cot (x) + 1}{2 \cot (x)} = 0$

Etapa 2.5.5.2

Subtraia $\cot (x)$ de $\cot (x)$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 0 + 1}{2 \cot (x)} = 0$

Etapa 2.5.5.3

Some $- \cot^{2} (x)$ e $0$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1}{2 \cot (x)} = 0$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1}{2 \cot (x)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 \cot (x) = 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $2 \cot (x) = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.1.1

Divida cada termo em $2 \cot (x) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 \cot (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cot (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 4.1.2.1.2

Divida $\cot (x)$ por $1$ .

$\cot (x) = \frac{0}{2}$

Etapa 4.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$\cot (x) = 0$

Etapa 4.2

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x = arccot (0)$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

O valor exato de $arccot (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 4.4

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{2}$

Etapa 4.5

Simplifique $π + \frac{π}{2}$ .

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Etapa 4.5.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 4.5.2

Combine frações.

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Etapa 4.5.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 4.5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Etapa 4.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Etapa 4.5.3.2

Some $2 π$ e $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 4.6

Encontre o período de $\cot (x)$ .

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Etapa 4.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 4.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 4.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 4.6.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 4.7

O período da função $\cot (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.8

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Defina o argumento em $\cot (2 x)$ como igual a $π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 x = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Divida cada termo em $2 x = π n$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $2 x = π n$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π n}{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π n}{2}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{π n}{2}$

Etapa 7

Defina o argumento em $\cot (x)$ como igual a $π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n, x = \frac{π n}{2}, x = π n}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9