Trigonometria Exemplos

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) = \ln (x - 1) - \ln (x + 8)$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $\ln (x - 1)$ dos dois lados da equação.

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) - \ln (x - 1) = - \ln (x + 8)$

Etapa 1.2

Some $\ln (x + 8)$ aos dois lados da equação.

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) - \ln (x - 1) + \ln (x + 8) = 0$

Etapa 2

Simplifique $\ln (x - 2) - \ln (x + 2) - \ln (x - 1) + \ln (x + 8)$ .

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Etapa 2.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2}) - \ln (x - 1) + \ln (x + 8) = 0$

Etapa 2.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x - 2}{x + 2}}{x - 1}) + \ln (x + 8) = 0$

Etapa 2.3

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{\frac{x - 2}{x + 2}}{x - 1} (x + 8)) = 0$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2} \cdot \frac{1}{x - 1} (x + 8)) = 0$

Etapa 2.5

Multiplique $\frac{x - 2}{x + 2}$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$\ln (\frac{x - 2}{(x + 2) (x - 1)} (x + 8)) = 0$

Etapa 2.6

Multiplique $\frac{x - 2}{(x + 2) (x - 1)}$ por $x + 8$ .

$\ln (\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)}) = 0$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(x + 2) (x - 1) = 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 4.2

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 4.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 4.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 4.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 4.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 1$

Etapa 5

Defina o argumento em $\ln (\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)})$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)} \leq 0$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x - 2 = 0$

$x + 8 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 6.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 6.3

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x = - 8$

Etapa 6.4

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 6.5

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 6.6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 2$

$x = - 8$

$x = - 2$

$x = 1$

Etapa 6.7

Consolide as soluções.

$x = 2, - 8, - 2, 1$

Etapa 6.8

Encontre o domínio de $\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)}$ .

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Etapa 6.8.1

Defina o denominador em $\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(x + 2) (x - 1) = 0$

Etapa 6.8.2

Resolva $x$ .

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Etapa 6.8.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 6.8.2.2

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.8.2.2.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 6.8.2.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 6.8.2.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.8.2.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 6.8.2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 6.8.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 1$

Etapa 6.8.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 6.9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 6.10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 6.10.1

Teste um valor no intervalo $x < - 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 6.10.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

$\frac{((- 10) - 2) ((- 10) + 8)}{((- 10) + 2) ((- 10) - 1)} \leq 0$

Etapa 6.10.1.3

O lado esquerdo $0.\overline{27}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.10.2

Teste um valor no intervalo $- 8 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 8 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 5$

Etapa 6.10.2.2

Substitua $x$ por $- 5$ na desigualdade original.

$\frac{((- 5) - 2) ((- 5) + 8)}{((- 5) + 2) ((- 5) - 1)} \leq 0$

Etapa 6.10.2.3

O lado esquerdo $- 1.1\overline{6}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.10.3

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.10.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 6.10.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{((0) - 2) ((0) + 8)}{((0) + 2) ((0) - 1)} \leq 0$

Etapa 6.10.3.3

O lado esquerdo $8$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.10.4

Teste um valor no intervalo $1 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.10.4.1

Escolha um valor no intervalo $1 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1.5$

Etapa 6.10.4.2

Substitua $x$ por $1.5$ na desigualdade original.

$\frac{((1.5) - 2) ((1.5) + 8)}{((1.5) + 2) ((1.5) - 1)} \leq 0$

Etapa 6.10.4.3

O lado esquerdo $- 2.\overline{714285}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.10.5

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.10.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 6.10.5.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{((4) - 2) ((4) + 8)}{((4) + 2) ((4) - 1)} \leq 0$

Etapa 6.10.5.3

O lado esquerdo $1.\overline{3}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.10.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

Etapa 6.11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 8 \leq x < - 2$ ou $1 < x \leq 2$

Etapa 7

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$- 8 \leq x \leq - 2, 1 \leq x \leq 2$

$[- 8, - 2] \cup [1, 2]$

Etapa 8