Trigonometria Exemplos

$f (x) = 2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 - 45$

Etapa 1

Subtraia $45$ de $9$ .

$f (x) = 2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} - 36$

Etapa 2

Reescreva $2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} - 36$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} - 36$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 36, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 1.5, \pm 12, \pm 6, \pm 4, \pm 4.5$

Etapa 2.1.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$2 \cdot 2^{4} - 17 \cdot 2^{3} + 35 \cdot 2^{2} - 36$

Etapa 2.1.3.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$2 \cdot 16 - 17 \cdot 2^{3} + 35 \cdot 2^{2} - 36$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $16$ .

$32 - 17 \cdot 2^{3} + 35 \cdot 2^{2} - 36$

Etapa 2.1.3.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$32 - 17 \cdot 8 + 35 \cdot 2^{2} - 36$

Etapa 2.1.3.5

Multiplique $- 17$ por $8$ .

$32 - 136 + 35 \cdot 2^{2} - 36$

Etapa 2.1.3.6

Subtraia $136$ de $32$ .

$- 104 + 35 \cdot 2^{2} - 36$

Etapa 2.1.3.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 104 + 35 \cdot 4 - 36$

Etapa 2.1.3.8

Multiplique $35$ por $4$ .

$- 104 + 140 - 36$

Etapa 2.1.3.9

Some $- 104$ e $140$ .

$36 - 36$

Etapa 2.1.3.10

Subtraia $36$ de $36$ .

$0$

Etapa 2.1.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} - 36}{x - 2}$

Etapa 2.1.5

Divida $2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} - 36$ por $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$17 x^{3}$

$35 x^{2}$

$0 x$

$36$

Etapa 2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$2 x^{3}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$17 x^{3}$

$35 x^{2}$

$0 x$

$36$

Etapa 2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x^{3}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$17 x^{3}$

$35 x^{2}$

$0 x$

$36$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

Etapa 2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{4} - 4 x^{3}$ .

$2 x^{3}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$17 x^{3}$

$35 x^{2}$

$0 x$

$36$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

Etapa 2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x^{3}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$17 x^{3}$

$35 x^{2}$

$0 x$

$36$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$13 x^{3}$

Etapa 2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$2 x^{3}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$17 x^{3}$

$35 x^{2}$

$0 x$

$36$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$13 x^{3}$

$35 x^{2}$

Etapa 2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 13 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$17 x^{3}$

$35 x^{2}$

$0 x$

$36$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$13 x^{3}$

$35 x^{2}$

Etapa 2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$17 x^{3}$

$35 x^{2}$

$0 x$

$36$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$13 x^{3}$

$35 x^{2}$

$13 x^{3}$

$26 x^{2}$

Etapa 2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 13 x^{3} + 26 x^{2}$ .

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$17 x^{3}$

$35 x^{2}$

$0 x$

$36$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$13 x^{3}$

$35 x^{2}$

$13 x^{3}$

$26 x^{2}$

Etapa 2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$17 x^{3}$

$35 x^{2}$

$0 x$

$36$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$13 x^{3}$

$35 x^{2}$

$13 x^{3}$

$26 x^{2}$

$9 x^{2}$

Etapa 2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$17 x^{3}$

$35 x^{2}$

$0 x$

$36$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$13 x^{3}$

$35 x^{2}$

$13 x^{3}$

$26 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

Etapa 2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $9 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$9 x$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$17 x^{3}$

$35 x^{2}$

$0 x$

$36$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$13 x^{3}$

$35 x^{2}$

$13 x^{3}$

$26 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

Etapa 2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$9 x$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$17 x^{3}$

$35 x^{2}$

$0 x$

$36$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$13 x^{3}$

$35 x^{2}$

$13 x^{3}$

$26 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$18 x$

Etapa 2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $9 x^{2} - 18 x$ .

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$9 x$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$17 x^{3}$

$35 x^{2}$

$0 x$

$36$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$13 x^{3}$

$35 x^{2}$

$13 x^{3}$

$26 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$18 x$

Etapa 2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$9 x$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$17 x^{3}$

$35 x^{2}$

$0 x$

$36$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$13 x^{3}$

$35 x^{2}$

$13 x^{3}$

$26 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$18 x$

Etapa 2.1.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$9 x$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$17 x^{3}$

$35 x^{2}$

$0 x$

$36$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$13 x^{3}$

$35 x^{2}$

$13 x^{3}$

$26 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$18 x$

$36$

Etapa 2.1.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $18 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$9 x$

$18$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$17 x^{3}$

$35 x^{2}$

$0 x$

$36$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$13 x^{3}$

$35 x^{2}$

$13 x^{3}$

$26 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$18 x$

$36$

Etapa 2.1.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$9 x$

$18$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$17 x^{3}$

$35 x^{2}$

$0 x$

$36$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$13 x^{3}$

$35 x^{2}$

$13 x^{3}$

$26 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$18 x$

$36$

$18 x$

$36$

Etapa 2.1.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $18 x - 36$ .

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$9 x$

$18$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$17 x^{3}$

$35 x^{2}$

$0 x$

$36$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$13 x^{3}$

$35 x^{2}$

$13 x^{3}$

$26 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$18 x$

$36$

$18 x$

$36$

Etapa 2.1.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$9 x$

$18$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$17 x^{3}$

$35 x^{2}$

$0 x$

$36$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$13 x^{3}$

$35 x^{2}$

$13 x^{3}$

$26 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$18 x$

$36$

$18 x$

$36$

$0$

Etapa 2.1.5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{3} - 13 x^{2} + 9 x + 18$

Etapa 2.1.6

Escreva $2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} - 36$ como um conjunto de fatores.

$f (x) = (x - 2) (2 x^{3} - 13 x^{2} + 9 x + 18)$

Etapa 2.2

Fatore $2 x^{3} - 13 x^{2} + 9 x + 18$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $2 x^{3} - 13 x^{2} + 9 x + 18$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 2.2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 18, \pm 9, \pm 2, \pm 4.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 6$

Etapa 2.2.1.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$2 \cdot 2^{3} - 13 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 + 18$

Etapa 2.2.1.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$2 \cdot 8 - 13 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 + 18$

Etapa 2.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $8$ .

$16 - 13 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 + 18$

Etapa 2.2.1.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$16 - 13 \cdot 4 + 9 \cdot 2 + 18$

Etapa 2.2.1.3.5

Multiplique $- 13$ por $4$ .

$16 - 52 + 9 \cdot 2 + 18$

Etapa 2.2.1.3.6

Subtraia $52$ de $16$ .

$- 36 + 9 \cdot 2 + 18$

Etapa 2.2.1.3.7

Multiplique $9$ por $2$ .

$- 36 + 18 + 18$

Etapa 2.2.1.3.8

Some $- 36$ e $18$ .

$- 18 + 18$

Etapa 2.2.1.3.9

Some $- 18$ e $18$ .

$0$

Etapa 2.2.1.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 9 x + 18}{x - 2}$

Etapa 2.2.1.5

Divida $2 x^{3} - 13 x^{2} + 9 x + 18$ por $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$9 x$

$18$

Etapa 2.2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$

Etapa 2.2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Etapa 2.2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Etapa 2.2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

Etapa 2.2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Etapa 2.2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 9 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Etapa 2.2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$18 x$

Etapa 2.2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 9 x^{2} + 18 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$

Etapa 2.2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$9 x$

Etapa 2.2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$9 x$	+	$18$

Etapa 2.2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 9 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	-	$9$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$9 x$	+	$18$

Etapa 2.2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	-	$9$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$9 x$	+	$18$
							-	$9 x$	+	$18$

Etapa 2.2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 9 x + 18$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	-	$9$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$9 x$	+	$18$
							+	$9 x$	-	$18$

Etapa 2.2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	-	$9$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$9 x$	+	$18$
							+	$9 x$	-	$18$
										$0$

Etapa 2.2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{2} - 9 x - 9$

Etapa 2.2.1.6

Escreva $2 x^{3} - 13 x^{2} + 9 x + 18$ como um conjunto de fatores.

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) (2 x^{2} - 9 x - 9))$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = (x - 2) (x - 2) (2 x^{2} - 9 x - 9)$

Etapa 2.3

Combine como fatores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Eleve $x - 2$ à potência de $1$ .

$f (x) = (x - 2) (x - 2) (2 x^{2} - 9 x - 9)$

Etapa 2.3.2

Eleve $x - 2$ à potência de $1$ .

$f (x) = (x - 2) (x - 2) (2 x^{2} - 9 x - 9)$

Etapa 2.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x) = {(x - 2)}^{1 + 1} (2 x^{2} - 9 x - 9)$

Etapa 2.3.4

Some $1$ e $1$ .

$f (x) = {(x - 2)}^{2} (2 x^{2} - 9 x - 9)$