Trigonometria Exemplos

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} = 2 \sec^{2} (x)$

Etapa 1

Subtraia $2 \sec^{2} (x)$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} - 2 \sec^{2} (x) = 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} - 2 \sec^{2} (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} - 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} = 0$

Etapa 2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} - 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} = 0$

Etapa 2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} - 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} = 0$

Etapa 2.1.4

Combine $- 2$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} + \frac{- 2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Etapa 2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Etapa 2.3

Para escrever $\frac{1}{1 - \sin (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Etapa 2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Multiplique $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ por $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} + \frac{1}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $\frac{1}{1 - \sin (x)}$ por $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} + \frac{1 + \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Etapa 2.4.3

Reordene os fatores de $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} + \frac{1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - \sin (x) + 1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Etapa 2.6

Combine os termos opostos em $\frac{1 - \sin (x) + 1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{2}{\cos^{2} (x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Some $- \sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$\frac{1 + 0 + 1}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Etapa 2.6.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1 + 1}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Etapa 2.7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Etapa 2.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1} = 0$

Etapa 2.8.2

Separe as frações.

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - (\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}) = 0$

Etapa 2.8.3

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ em $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - (\frac{2}{1} \sec^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.8.4

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - (2 \sec^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.8.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - 2 \sec^{2} (x) = 0$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) = 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$1 + \sin (x) = 0$

$1 - \sin (x) = 0$

Etapa 4.2

Defina $1 + \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Defina $1 + \sin (x)$ como igual a $0$ .

$1 + \sin (x) = 0$

Etapa 4.2.2

Resolva $1 + \sin (x) = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\sin (x) = - 1$

Etapa 4.2.2.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Etapa 4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.2.4

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 4.2.2.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.5.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 4.2.2.5.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 4.2.2.6

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.2.7

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.7.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{2}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 4.2.2.7.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.2.7.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.7.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.2.7.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 4.2.2.7.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.7.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Etapa 4.2.2.7.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Etapa 4.2.2.7.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 4.2.2.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.3

Defina $1 - \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Defina $1 - \sin (x)$ como igual a $0$ .

$1 - \sin (x) = 0$

Etapa 4.3.2

Resolva $1 - \sin (x) = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \sin (x) = - 1$

Etapa 4.3.2.2

Divida cada termo em $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Divida cada termo em $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.3.2.2.2.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Etapa 4.3.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (1)$

Etapa 4.3.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 4.3.2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Etapa 4.3.2.6

Simplifique $π - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.3.2.6.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.3.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 4.3.2.6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 4.3.2.6.3.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 4.3.2.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.3.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.3.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.3.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.3.2.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.4

A solução final são todos os valores que tornam $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.5

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6