Trigonometria Exemplos

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Simplifique $\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)$ .

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Etapa 1.1.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.1.1

Reescreva $\sec^{4} (x)$ como ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sec^{2} (x))}^{2} - \tan^{4} (x) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $\tan^{4} (x)$ como ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sec^{2} (x))}^{2} - {(\tan^{2} (x))}^{2} = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Etapa 1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \sec^{2} (x)$ e $b = \tan^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Etapa 1.1.3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) \cdot 1 = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Etapa 1.1.4

Multiplique $\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ por $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Etapa 2

Substitua $\sec^{2} (x)$ por $1 + \tan^{2} (x)$ com base na identidade $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) + \tan^{2} (x) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Etapa 3

Some $\tan^{2} (x)$ e $\tan^{2} (x)$ .

$1 + 2 \tan^{2} (x) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Etapa 4

Reordene o polinômio.

$2 \tan^{2} (x) + 1 = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Etapa 5

Mova todos os termos que contêm $\tan (x)$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.1

Subtraia $2 \tan^{2} (x)$ dos dois lados da equação.

$2 \tan^{2} (x) + 1 - 2 \tan^{2} (x) = 1$

Etapa 5.2

Combine os termos opostos em $2 \tan^{2} (x) + 1 - 2 \tan^{2} (x)$ .

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Etapa 5.2.1

Subtraia $2 \tan^{2} (x)$ de $2 \tan^{2} (x)$ .

$0 + 1 = 1$

Etapa 5.2.2

Some $0$ e $1$ .

$1 = 1$

Etapa 6

Como $1 = 1$ , a equação sempre será verdadeira para qualquer valor de $x$ .

Todos os números reais

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Todos os números reais

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$