Trigonometria Exemplos

$4 \sin^{4} (x) = 1 - 2 \cos (2 \cdot x) + \cos^{2} (2 \cdot x)$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$4 \sin^{4} (x) - 1 = - 2 \cos (2 \cdot x) + \cos^{2} (2 \cdot x)$

Etapa 1.2

Some $2 \cos (2 \cdot x)$ aos dois lados da equação.

$4 \sin^{4} (x) - 1 + 2 \cos (2 \cdot x) = \cos^{2} (2 \cdot x)$

Etapa 1.3

Subtraia $\cos^{2} (2 \cdot x)$ dos dois lados da equação.

$4 \sin^{4} (x) - 1 + 2 \cos (2 \cdot x) - \cos^{2} (2 \cdot x) = 0$

Etapa 2

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$4 \sin^{4} (x) - 1 + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - \cos^{2} (2 \cdot x) = 0$

Etapa 3

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$4 \sin^{4} (x) - 1 + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - {(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2} = 0$

Etapa 4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$4 \sin^{4} (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - {(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2} = 1$

Etapa 5

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1

Simplifique $4 \sin^{4} (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - {(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2}$ .

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Etapa 5.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \sin^{4} (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - {(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2} = 1$

Etapa 5.1.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - {(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2} = 1$

Etapa 5.1.1.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - {(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2} = 1$

Etapa 5.1.1.4

Reescreva ${(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2}$ como $(1 - 2 \sin^{2} (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x))$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - ((1 - 2 \sin^{2} (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x))) = 1$

Etapa 5.1.1.5

Expanda $(1 - 2 \sin^{2} (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (1 - 2 \sin^{2} (x))) = 1$

Etapa 5.1.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (1 - 2 \sin^{2} (x))) = 1$

Etapa 5.1.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 1$

Etapa 5.1.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.1.1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1.6.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 1$

Etapa 5.1.1.6.1.2

Multiplique $- 2 \sin^{2} (x)$ por $1$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 1$

Etapa 5.1.1.6.1.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 1$

Etapa 5.1.1.6.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot - 2 \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)) = 1$

Etapa 5.1.1.6.1.5

Multiplique $\sin^{2} (x)$ por $\sin^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.1.6.1.5.1

Mova $\sin^{2} (x)$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot - 2 (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x))) = 1$

Etapa 5.1.1.6.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot - 2 {\sin (x)}^{2 + 2}) = 1$

Etapa 5.1.1.6.1.5.3

Some $2$ e $2$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot - 2 \sin^{4} (x)) = 1$

Etapa 5.1.1.6.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x)) = 1$

Etapa 5.1.1.6.2

Subtraia $2 \sin^{2} (x)$ de $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 - 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x)) = 1$

Etapa 5.1.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - (- 4 \sin^{2} (x)) - (4 \sin^{4} (x)) = 1$

Etapa 5.1.1.8

Simplifique.

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Etapa 5.1.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - 1 - (- 4 \sin^{2} (x)) - (4 \sin^{4} (x)) = 1$

Etapa 5.1.1.8.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - 1 + 4 \sin^{2} (x) - (4 \sin^{4} (x)) = 1$

Etapa 5.1.1.8.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - 1 + 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) = 1$

Etapa 5.1.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 5.1.2.1

Combine os termos opostos em $4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - 1 + 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x)$ .

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Etapa 5.1.2.1.1

Some $- 4 \sin^{2} (x)$ e $4 \sin^{2} (x)$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 + 0 - 1 - 4 \sin^{4} (x) = 1$

Etapa 5.1.2.1.2

Some $4 \sin^{4} (x) + 2$ e $0$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 1 - 4 \sin^{4} (x) = 1$

Etapa 5.1.2.1.3

Subtraia $4 \sin^{4} (x)$ de $4 \sin^{4} (x)$ .

$0 + 2 - 1 = 1$

Etapa 5.1.2.1.4

Some $0$ e $2$ .

$2 - 1 = 1$

Etapa 5.1.2.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$1 = 1$

Etapa 6

Como $1 = 1$ , a equação sempre será verdadeira para qualquer valor de $x$ .

Todos os números reais

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Todos os números reais

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$