Trigonometria Exemplos

$50 = 25 \sin (\frac{2 π}{7} t) + 75$

Etapa 1

Reescreva a equação como $25 \sin (\frac{2 π}{7} t) + 75 = 50$ .

$25 \sin (\frac{2 π}{7} t) + 75 = 50$

Etapa 2

Mova todos os termos que não contêm $\sin (\frac{2 π}{7} t)$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.1

Subtraia $75$ dos dois lados da equação.

$25 \sin (\frac{2 π}{7} t) = 50 - 75$

Etapa 2.2

Subtraia $75$ de $50$ .

$25 \sin (\frac{2 π}{7} t) = - 25$

Etapa 3

Divida cada termo em $25 \sin (\frac{2 π}{7} t) = - 25$ por $25$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $25 \sin (\frac{2 π}{7} t) = - 25$ por $25$ .

$\frac{25 \sin (\frac{2 π}{7} t)}{25} = \frac{- 25}{25}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $25$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{25 \sin (\frac{2 π}{7} t)}{25} = \frac{- 25}{25}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $\sin (\frac{2 π}{7} t)$ por $1$ .

$\sin (\frac{2 π}{7} t) = \frac{- 25}{25}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Divida $- 25$ por $25$ .

$\sin (\frac{2 π}{7} t) = - 1$

Etapa 4

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $t$ de dentro do seno.

$\frac{2 π}{7} t = \arcsin (- 1)$

Etapa 5

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{2 π}{7}$ e $t$ .

$\frac{2 π t}{7} = \arcsin (- 1)$

Etapa 6

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{2 π t}{7} = - \frac{π}{2}$

Etapa 7

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{7}{2 π}$ .

$\frac{7}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{7} = \frac{7}{2 π} (- \frac{π}{2})$

Etapa 8

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 8.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.1.1

Simplifique $\frac{7}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{7}$ .

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Etapa 8.1.1.1

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 8.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{7} = \frac{7}{2 π} (- \frac{π}{2})$

Etapa 8.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{7}{2 π} (- \frac{π}{2})$

Etapa 8.1.1.2

Cancele o fator comum de $2 π$ .

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Etapa 8.1.1.2.1

Fatore $2 π$ de $2 π t$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (t)) = \frac{7}{2 π} (- \frac{π}{2})$

Etapa 8.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{7}{2 π} (- \frac{π}{2})$

Etapa 8.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$t = \frac{7}{2 π} (- \frac{π}{2})$

Etapa 8.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.1

Simplifique $\frac{7}{2 π} (- \frac{π}{2})$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 8.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{2}$ para o numerador.

$t = \frac{7}{2 π} \cdot \frac{- π}{2}$

Etapa 8.2.1.1.2

Fatore $π$ de $2 π$ .

$t = \frac{7}{π \cdot 2} \cdot \frac{- π}{2}$

Etapa 8.2.1.1.3

Fatore $π$ de $- π$ .

$t = \frac{7}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Etapa 8.2.1.1.4

Cancele o fator comum.

$t = \frac{7}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Etapa 8.2.1.1.5

Reescreva a expressão.

$t = \frac{7}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $\frac{7}{2}$ por $\frac{- 1}{2}$ .

$t = \frac{7 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.2.1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.2.1.3.1

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$t = \frac{- 7}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.2.1.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$t = \frac{- 7}{4}$

Etapa 8.2.1.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t = - \frac{7}{4}$

Etapa 9

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$\frac{2 π t}{7} = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 10

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 10.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$\frac{2 π t}{7} = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 10.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$\frac{2 π t}{7} = \frac{3 π}{2}$

Etapa 10.3

Resolva $t$ .

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Etapa 10.3.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{7}{2 π}$ .

$\frac{7}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{7} = \frac{7}{2 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Etapa 10.3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 10.3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.3.2.1.1

Simplifique $\frac{7}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{7}$ .

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Etapa 10.3.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 10.3.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{7} = \frac{7}{2 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Etapa 10.3.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{7}{2 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Etapa 10.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2 π$ .

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Etapa 10.3.2.1.1.2.1

Fatore $2 π$ de $2 π t$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (t)) = \frac{7}{2 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Etapa 10.3.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{7}{2 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Etapa 10.3.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$t = \frac{7}{2 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Etapa 10.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.3.2.2.1

Simplifique $\frac{7}{2 π} \cdot \frac{3 π}{2}$ .

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Etapa 10.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 10.3.2.2.1.1.1

Fatore $π$ de $2 π$ .

$t = \frac{7}{π \cdot 2} \cdot \frac{3 π}{2}$

Etapa 10.3.2.2.1.1.2

Fatore $π$ de $3 π$ .

$t = \frac{7}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot 3}{2}$

Etapa 10.3.2.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$t = \frac{7}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot 3}{2}$

Etapa 10.3.2.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$t = \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Etapa 10.3.2.2.1.2

Multiplique $\frac{7}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$t = \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Etapa 10.3.2.2.1.3

Multiplique.

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Etapa 10.3.2.2.1.3.1

Multiplique $7$ por $3$ .

$t = \frac{21}{2 \cdot 2}$

Etapa 10.3.2.2.1.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$t = \frac{21}{4}$

Etapa 11

Encontre o período de $\sin (\frac{2 π}{7} t)$ .

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Etapa 11.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 11.2

Substitua $b$ por $\frac{2 π}{7}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{7} |}$

Etapa 11.3

$\frac{2 π}{7}$ é aproximadamente $0.8975979$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{7}}$

Etapa 11.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{7}{2 π}$

Etapa 11.5

Cancele o fator comum de $2 π$ .

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Etapa 11.5.1

Cancele o fator comum.

$2 π \frac{7}{2 π}$

Etapa 11.5.2

Reescreva a expressão.

$7$

Etapa 12

Some $7$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 12.1

Some $7$ com $- \frac{7}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{7}{4} + 7$

Etapa 12.2

Para escrever $7$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$7 \cdot \frac{4}{4} - \frac{7}{4}$

Etapa 12.3

Combine $7$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7 \cdot 4}{4} - \frac{7}{4}$

Etapa 12.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7 \cdot 4 - 7}{4}$

Etapa 12.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.5.1

Multiplique $7$ por $4$ .

$\frac{28 - 7}{4}$

Etapa 12.5.2

Subtraia $7$ de $28$ .

$\frac{21}{4}$

Etapa 12.6

Liste os novos ângulos.

$t = \frac{21}{4}$

Etapa 13

O período da função $\sin (\frac{2 π}{7} t)$ é $7$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $7$ radianos nas duas direções.

$t = \frac{21}{4} + 7 n, \frac{21}{4} + 7 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Consolide as respostas.

$t = \frac{21}{4} + 7 n$ , para qualquer número inteiro $n$