Trigonometria Exemplos

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 1

Substitua $\cos^{2} (x)$ por $1 - \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ e cuja soma é $b = 1$ .

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Etapa 3.1.1

Reordene os termos.

$- \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) = 0$

Etapa 3.1.2

Reordene $2 \sin^{2} (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 3.1.3

Fatore $1$ de $\cos (x) \sin (x)$ .

$- \cos^{2} (x) + 1 (\cos (x) \sin (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 3.1.4

Reescreva $1$ como $- 1$ mais $2$

$- \cos^{2} (x) + (- 1 + 2) (\cos (x) \sin (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 3.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$- \cos^{2} (x) - 1 (\cos (x) \sin (x)) + 2 (\cos (x) \sin (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 3.1.6

Remova os parênteses desnecessários.

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) \sin (x) + 2 (\cos (x) \sin (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 3.1.7

Remova os parênteses desnecessários.

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\cos (x) (- \cos (x) - \sin (x)) - 2 \sin (x) (- \cos (x) - \sin (x)) = 0$

Etapa 3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- \cos (x) - \sin (x)$ .

$(- \cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - 2 \sin (x)) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$- \cos (x) - \sin (x) = 0$

$\cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 5

Defina $- \cos (x) - \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $- \cos (x) - \sin (x)$ como igual a $0$ .

$- \cos (x) - \sin (x) = 0$

Etapa 5.2

Resolva $- \cos (x) - \sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5.2.2.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5.2.3

Separe as frações.

$- 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5.2.4

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$- 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5.2.5

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5.2.6

Separe as frações.

$- 1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 5.2.7

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$- 1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 5.2.8

Divida $0$ por $1$ .

$- 1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Etapa 5.2.9

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$- 1 - \tan (x) = 0$

Etapa 5.2.10

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- \tan (x) = 1$

Etapa 5.2.11

Divida cada termo em $- \tan (x) = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.2.11.1

Divida cada termo em $- \tan (x) = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 5.2.11.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.11.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 5.2.11.2.2

Divida $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

Etapa 5.2.11.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.11.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$\tan (x) = - 1$

Etapa 5.2.12

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Etapa 5.2.13

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.13.1

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.14

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Etapa 5.2.15

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 5.2.15.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Etapa 5.2.15.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.2.16

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 5.2.16.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 5.2.16.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.16.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 5.2.16.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 5.2.17

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 5.2.17.1

Some $π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Etapa 5.2.17.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.17.3

Combine frações.

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Etapa 5.2.17.3.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.17.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 5.2.17.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.17.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 5.2.17.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Etapa 5.2.17.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.2.18

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Defina $\cos (x) - 2 \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $\cos (x) - 2 \sin (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 6.2

Resolva $\cos (x) - 2 \sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.3

Separe as frações.

$1 + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.4

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 2}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.5

Divida $- 2$ por $1$ .

$1 - 2 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.6

Separe as frações.

$1 - 2 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.7

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$1 - 2 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 6.2.8

Divida $0$ por $1$ .

$1 - 2 \tan (x) = 0 \sec (x)$

Etapa 6.2.9

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$1 - 2 \tan (x) = 0$

Etapa 6.2.10

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \tan (x) = - 1$

Etapa 6.2.11

Divida cada termo em $- 2 \tan (x) = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 6.2.11.1

Divida cada termo em $- 2 \tan (x) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 6.2.11.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.11.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 6.2.11.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 6.2.11.2.1.2

Divida $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 6.2.11.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.11.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\tan (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.12

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (\frac{1}{2})$

Etapa 6.2.13

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.13.1

Avalie $\arctan (\frac{1}{2})$ .

$x = 0.4636476$

Etapa 6.2.14

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Etapa 6.2.15

Resolva $x$ .

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Etapa 6.2.15.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 + 0.4636476$

Etapa 6.2.15.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Etapa 6.2.15.3

Some $3.14159265$ e $0.4636476$ .

$x = 3.60524026$

Etapa 6.2.16

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 6.2.16.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 6.2.16.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 6.2.16.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 6.2.16.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 6.2.17

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(- \cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - 2 \sin (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide $0.4636476 + π n$ e $3.60524026 + π n$ em $0.4636476 + π n$ .

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 0.4636476 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$