Trigonometria Exemplos

$2 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 1

Substitua $2 \sin^{2} (x)$ por $2 (1 - \cos^{2} (x))$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 3

Subtraia $\cos^{2} (x)$ de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 - 3 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 4

Reordene o polinômio.

$- 3 \cos^{2} (x) + 2 = 0$

Etapa 5

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- 3 \cos^{2} (x) = - 2$

Etapa 6

Divida cada termo em $- 3 \cos^{2} (x) = - 2$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $- 3 \cos^{2} (x) = - 2$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 2}{- 3}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\cos^{2} (x) = \frac{2}{3}$

Etapa 7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

Etapa 8

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 8.1

Reescreva $\sqrt{\frac{2}{3}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 8.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 8.3.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 8.3.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 8.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 8.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 8.3.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 8.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 8.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 8.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 8.3.6.5

Avalie o expoente.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Etapa 8.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Etapa 8.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

Etapa 9

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 9.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Etapa 9.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Etapa 9.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Etapa 10

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Etapa 11

Resolva $x$ em $\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

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Etapa 11.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{6}}{3})$

Etapa 11.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.2.1

Avalie $\arccos (\frac{\sqrt{6}}{3})$ .

$x = 0.6154797$

Etapa 11.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 0.6154797$

Etapa 11.4

Resolva $x$ .

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Etapa 11.4.1

Remova os parênteses.

$x = 2 (3.14159265) - 0.6154797$

Etapa 11.4.2

Simplifique $2 (3.14159265) - 0.6154797$ .

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Etapa 11.4.2.1

Multiplique $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.6154797$

Etapa 11.4.2.2

Subtraia $0.6154797$ de $6.2831853$ .

$x = 5.66770559$

Etapa 11.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 11.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 11.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 11.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 11.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 11.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 5.66770559 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Resolva $x$ em $\cos (x) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

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Etapa 12.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{6}}{3})$

Etapa 12.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.2.1

Avalie $\arccos (- \frac{\sqrt{6}}{3})$ .

$x = 2.52611294$

Etapa 12.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 2.52611294$

Etapa 12.4

Resolva $x$ .

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Etapa 12.4.1

Remova os parênteses.

$x = 2 (3.14159265) - 2.52611294$

Etapa 12.4.2

Simplifique $2 (3.14159265) - 2.52611294$ .

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Etapa 12.4.2.1

Multiplique $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.52611294$

Etapa 12.4.2.2

Subtraia $2.52611294$ de $6.2831853$ .

$x = 3.75707236$

Etapa 12.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 12.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 12.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 12.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 12.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 12.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2.52611294 + 2 π n, 3.75707236 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Liste todas as soluções.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 5.66770559 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n, 3.75707236 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Consolide as soluções.

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Etapa 14.1

Consolide $0.6154797 + 2 π n$ e $3.75707236 + 2 π n$ em $0.6154797 + π n$ .

$x = 0.6154797 + π n, 5.66770559 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14.2

Consolide $5.66770559 + 2 π n$ e $2.52611294 + 2 π n$ em $2.52611294 + π n$ .

$x = 0.6154797 + π n, 2.52611294 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$