Trigonometria Exemplos

$2 \tan^{2} (x) - 3 \tan (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\tan (x)$ .

$2 {(u)}^{2} - 3 u = - \frac{1}{2}$

Etapa 2

Some $\frac{1}{2}$ aos dois lados da equação.

$2 u^{2} - 3 u + \frac{1}{2} = 0$

Etapa 3

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $2$ . Depois, simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (2 u^{2}) + 2 (- 3 u) + 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 u^{2} + 2 (- 3 u) + 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Etapa 3.2.2

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$4 u^{2} - 6 u + 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Etapa 3.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$4 u^{2} - 6 u + 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Etapa 3.2.3.2

Reescreva a expressão.

$4 u^{2} - 6 u + 1 = 0$

Etapa 4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5

Substitua os valores $a = 4$ , $b = - 6$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Etapa 6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.1.3

Subtraia $16$ de $36$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.1.4

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Etapa 6.1.4.1

Fatore $4$ de $20$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Etapa 6.3

Simplifique $\frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{4}$

Etapa 7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}, \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$

Etapa 8

Substitua $\tan (x)$ por $u$ .

$\tan (x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}, \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$

Etapa 9

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\tan (x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$

$\tan (x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$

Etapa 10

Resolva $x$ em $\tan (x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$ .

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Etapa 10.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (\frac{3 + \sqrt{5}}{4})$

Etapa 10.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.1

Avalie $\arctan (\frac{3 + \sqrt{5}}{4})$ .

$x = 0.91843818$

Etapa 10.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 0.91843818$

Etapa 10.4

Resolva $x$ .

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Etapa 10.4.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 + 0.91843818$

Etapa 10.4.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) + 0.91843818$

Etapa 10.4.3

Some $3.14159265$ e $0.91843818$ .

$x = 4.06003084$

Etapa 10.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 10.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 10.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 10.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 10.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 10.6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.91843818 + π n, 4.06003084 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Resolva $x$ em $\tan (x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$ .

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Etapa 11.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (\frac{3 - \sqrt{5}}{4})$

Etapa 11.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.2.1

Avalie $\arctan (\frac{3 - \sqrt{5}}{4})$ .

$x = 0.18871053$

Etapa 11.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 0.18871053$

Etapa 11.4

Resolva $x$ .

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Etapa 11.4.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 + 0.18871053$

Etapa 11.4.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) + 0.18871053$

Etapa 11.4.3

Some $3.14159265$ e $0.18871053$ .

$x = 3.33030318$

Etapa 11.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 11.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 11.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 11.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 11.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 11.6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.18871053 + π n, 3.33030318 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Liste todas as soluções.

$x = 0.91843818 + π n, 4.06003084 + π n, 0.18871053 + π n, 3.33030318 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Consolide as soluções.

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Etapa 13.1

Consolide $0.91843818 + π n$ e $4.06003084 + π n$ em $0.91843818 + π n$ .

$x = 0.91843818 + π n, 0.18871053 + π n, 3.33030318 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13.2

Consolide $0.18871053 + π n$ e $3.33030318 + π n$ em $0.18871053 + π n$ .

$x = 0.91843818 + π n, 0.18871053 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$